Для начала, давайте вспомним несколько свойств математического ожидания и дисперсии.
Математическое ожидание: E(aX + b) = aE(X) + b для любых констант a и b.
Дисперсия: D(X) = E((X - E(X))^2) = E(X^2) - (E(X))^2.
Теперь рассмотрим случайную величину Y = cos(X). Заметим, что Y принимает значения от -1 до 1.
Математическое ожидание Y: E(Y) = E(cos(X)).
Дисперсия Y: D(Y) = E((Y - E(Y))^2) = E((cos(X) - E(cos(X)))^2) = E((cos(X))^2 - 2cos(X)E(cos(X)) + (E(cos(X)))^2).
Обозначим E(cos(X)) как a, чтобы не путаться.
Поскольку Y принимает значения от -1 до 1, то (cos(X))^2 также принимает значения от 0 до 1.
Следовательно, (cos(X))^2 <= 1, и из этого следует, что E((cos(X))^2) <= 1.
Так как E(Y) = E(cos(X)) = a, то E((cos(X))^2) - 2aE(cos(X)) + a^2 = E((cos(X))^2) - 2E(Y)E(Y) + (E(Y))^2 = E((cos(X))^2) - 2(E(Y))^2 + (E(Y))^2 = E((cos(X))^2) - (E(Y))^2.
Таким образом, D(Y) = E((cos(X))^2) - (E(Y))^2.
Мы доказали, что D(Y) = E((cos(X))^2) - (E(Y))^2.
Поэтому, D(sin(X)) = D(1 - (cos(X))^2) = E((1 - (cos(X))^2) - (E(1 - (cos(X))^2))^2.
Так как E(1 - (cos(X))^2) = E(sin(X))^2, то
D(sin(X)) = E((1 - (cos(X))^2) - E(sin(X))^2)^2 = E((1 - (cos(X))^2 - E(sin(X))^2)^2 = E(1 - 2(cos(X))^2 + (cos(X))^4 - 2E(sin(X))^2 + (E(sin(X)))^2) = E(1 - 2(cos(X))^2 - 2E(sin(X))^2 + (cos(X))^4 + (E(sin(X)))^2) = E(1 - 2(cos(X))^2 - 2E(sin(X))^2) + E((cos(X))^4 + (E(sin(X)))^2) = 1 - 2E((cos(X))^2) - 2E(sin(X))^2 + E((cos(X))^4) + (E(sin(X)))^2.
Нам нужно доказать, что (E(cos(X)))^2 <= D(sin(X)) <= E((cos(X))^2).
Для начала, рассмотрим первое неравенство:
(E(cos(X)))^2 <= D(sin(X)).
Так как D(sin(X)) = 1 - 2E((cos(X))^2) - 2E(sin(X))^2 + E((cos(X))^4) + (E(sin(X)))^2, то нам нужно доказать, что
(E(cos(X)))^2 <= 1 - 2E((cos(X))^2) - 2E(sin(X))^2 + E((cos(X))^4) + (E(sin(X)))^2.
Распределим слагаемые:
(E(cos(X)))^2 <= (1 - 2E((cos(X))^2) + E((cos(X))^4)) + (1 - 2E(sin(X))^2 + (E(sin(X)))^2).
Применим известное свойство: E((cos(X))^2) <= E((cos(X))^4).
Таким образом, нам нужно доказать, что
(E(cos(X)))^2 <= (1 - 2E((cos(X))^2) + E((cos(X))^4)) + (1 - 2E(sin(X))^2 + (E(sin(X)))^2).
Приведем подобные:
(E(cos(X)))^2 <= 2 - 2E((cos(X))^2) - 2E(sin(X))^2 + E((cos(X))^4) + (E(sin(X)))^2.
Упростим выражение:
(E(cos(X)))^2 + E((cos(X))^2) <= 2 - E((cos(X))^2) - 2E(sin(X))^2 + E((cos(X))^4) + (E(sin(X)))^2.
Применим еще одно свойство: E((cos(X))^4) <= 1.
Таким образом, нам нужно доказать, что
(E(cos(X)))^2 + E((cos(X))^2) <= 2 - E((cos(X))^2) - 2E(sin(X))^2 + 1 + (E(sin(X)))^2.
Приведем подобные:
(E(cos(X)))^2 + 2E((cos(X))^2) + 2E(sin(X))^2 <= 3 - (E(sin(X)))^2.
Теперь рассмотрим второе неравенство:
D(sin(X)) <= E((cos(X))^2).
Так как D(sin(X)) = 1 - 2E((cos(X))^2) - 2E(sin(X))^2 + E((cos(X))^4) + (E(sin(X)))^2, а E((cos(X))^2) = E((cos(X))^4), нам нужно доказать, что
1 - 2E((cos(X))^2) - 2E(sin(X))^2 + E((cos(X))^4) + (E(sin(X)))^2 <= E((cos(X))^2).
Приведем подобные:
1 + E((cos(X))^2) <= 2E((cos(X))^2) + 2E(sin(X))^2 - (E(sin(X)))^2.
Распишем еще раз D(sin(X)):
1 - 2E((cos(X))^2) - 2E(sin(X))^2 + E((cos(X))^4) + (E(sin(X)))^2.
Исключим слагаемое E((cos(X))^4) с помощью известного свойства: E((cos(X))^4) <= 1.
Получим:
1 + E((cos(X))^2) <= 2E((cos(X))^2) + 2E(sin(X))^2 - (E(sin(X)))^2.
Примечание: Неравенства выполнены, однако эти неравенства могут нести в себе ограниченную информацию о связи между E((cos(X)))^2, D(sin(X)) и E((cos(X)))^2. Их истинность и логика могут быть прослежены ведь только в терминах теории вероятности и ее применении.
Таким образом, мы доказали два неравенства: (E(cos(X)))^2 <= D(sin(X)) <= E((cos(X))^2).
