Для начала, рассмотрим определение математического ожидания и дисперсии для произвольной случайной величины: Математическое ожидание (E) случайной величины X определяется как: E(X) = ∫xf(x)dx, где f(x) - плотность вероятности случайной величины X. Дисперсия (D) случайной величины X определяется как: D(X) = E((X-E(X))^2), где E(X) - математическое ожидание случайной величины X. Также известно, что для стандартной нормальной случайной величины X (X ~ N(0,1)) плотность вероятности f(x) задается функцией плотности стандартного нормального распределения: f(x) = (1/√(2π)) * e^(-x^2/2). Рассмотрим каждое неравенство по отдельности: 1. Неравенство (E(cos(X)))^2 <= D(sin(X)): Вычислим левую часть неравенства: E(cos(X)) = ∫cos(x) * f(x)dx, где f(x) - плотность вероятности стандартной нормальной случайной величины. Для вычисления этого интеграла, мы можем воспользоваться формулой интегрирования по частям: ∫u * v'dx = uv - ∫u' * vdx, где u = cos(x), v = x, u' = -sin(x), v' = 1. Применяя формулу интегрирования по частям к интегралу E(cos(X)), получаем: E(cos(X)) = ∫cos(x) * f(x)dx = [cos(x) * x] - ∫(-sin(x) * x) * f(x)dx. Первое слагаемое в правой части равно нулю при вычислении в пределах от минус бесконечности до плюс бесконечности, так как функция cos(x) является периодической с периодом 2π. Используя свойства стандартной нормальной плотности вероятности f(x) и свойство периодичности функции sin(x), получаем: E(cos(X)) = ∫cos(x) * f(x)dx = -∫sin(x) * x * f(x)dx. Далее, нам понадобится формула для вычисления E(X^2), где X - стандартная нормальная случайная величина: E(X^2) = ∫x^2 * f(x)dx. Вычислим правую часть неравенства: D(sin(X)) = E((sin(X) - E(sin(X)))^2) = E((sin(X)-0)^2) = E(sin^2(X)). Далее, используя формулу синуса через косинус, вычислим E(sin^2(X)): E(sin^2(X)) = E((1-cos^2(X))) = E(1-cos^2(X)) = E(1) - E(cos^2(X)). Теперь сравним полученные выражения: (E(cos(X)))^2 <= D(sin(X)) <=> (-∫sin(x) * x * f(x)dx)^2 <= E(sin^2(X)). Для доказательства этого неравенства, мы можем воспользоваться свойством положительности интеграла и оценить интеграл ∫sin(x) * x * f(x)dx снизу нулем для всех значений x. Также, мы знаем, что E(sin^2(X)) >= 0, так как синус и его функция возводить в квадрат всегда неотрицательные. Таким образом, левая часть неравенства (-∫sin(x) * x * f(x)dx)^2 <= E(sin^2(X)) всегда будет выполнена, что доказывает первое неравенство. 2. Неравенство D(sin(X)) <= E((cos(X))^2): Для доказательства этого неравенства, рассмотрим правую часть: E((cos(X))^2) = ∫(cos^2(x)) * f(x)dx. Далее, вычислим левую часть: D(sin(X)) = E((sin(X) - E(sin(X)))^2) = E((sin(X)-0)^2) = E(sin^2(X)). Теперь сравним полученные выражения: D(sin(X)) <= E((cos(X))^2) <=> E(sin^2(X)) <= ∫(cos^2(x)) * f(x)dx. Для доказательства этого неравенства, мы используем определение стандартного нормального распределения, где плотность вероятности f(x) = (1/√(2π)) * e^(-x^2/2). Вычислим ∫(cos^2(x)) * f(x)dx: ∫(cos^2(x)) * f(x)dx = ∫(cos^2(x)) * (1/√(2π)) * e^(-x^2/2)dx. Используя формулу двойного аргумента, мы можем представить cos^2(x) через экспоненту: cos^2(x) = (1 + cos(2x))/2. Теперь, подставим это выражение в интеграл и разделим на две части: ∫(cos^2(x)) * (1/√(2π)) * e^(-x^2/2)dx = ∫[(1/√(2π)) * e^(-x^2/2) + (cos(2x)/√(2π)) * e^(-x^2/2)]dx. Первое слагаемое в данном интеграле является интегралом по всей плотности вероятности стандартного нормального распределения, и равно 1. Второе слагаемое произведения является симметричным относительно нуля, и его интеграл равен нулю. Таким образом, получаем: ∫(cos^2(x)) * f(x)dx = 1. Следовательно, D(sin(X)) <= E((cos(X))^2) всегда будет выполнено. Таким образом, мы доказали оба неравенства: (E(cos(X)))^2 <= D(sin(X)) <= E((cos(X))^2).