Для начала рассмотрим модель бинарной опциональной цепи, которая используется в данной задаче.
Опцион - это контракт, который дает право (но не обязанность) на покупку или продажу актива по фиксированной цене (которая называется ценой страйк) в определенный момент времени в будущем.
В данной задаче агент продает стандартный европейский пут опцион, что означает, что агент получает премию upfront и обязуется купить актив (обычно акции) по фиксированной цене K в определенный момент времени в будущем. Если цена актива в момент исполнения меньше K, то агент выигрывает, так как может купить актив по более низкой цене и продать его по K с прибылью. Если цена актива в момент исполнения больше или равна K, то агент выигрыша не получает и теряет премию, которую заплатил при продаже опциона.
График ∆ (delta) отображает количество акций, которые агент должен приобрести для хеджирования продаваемого опциона, при разных значениях начальной стоимости акции S.
Чтобы построить график ∆(S), нам нужно знать, как изменяется стоимость опциона с изменением цены акции. Мы также используем предположение, что модель имеет две возможные цены акции в следующем периоде: S1 и S2.
Цена опциона в следующем периоде будет зависеть от цены акции в этом периоде и от того, будет ли акцией востребована при исполнении опциона или нет. Как правило, если цена акции в следующем периоде ниже цены страйк (S1 < K), агент выполнит опцион и будет иметь доход (K-S1). Если цена акции в следующем периоде выше или равна цене страйк (S2 >= K), агент не выполнит опцион и его доход будет равен премии, которую он получил при продаже опциона. Если цена акции в следующем периоде равна цене страйк (S2 = K), доход агента будет равен 0.
Теперь мы можем рассчитать стоимость опциона в текущем периоде, используя вероятности состояний на следующем периоде и доходы от выполнения опциона:
C = p * (K - S1) + (1-p) * (premium) + p2 * 0
где p - вероятность состояния S1, (1-p) - вероятность состояния S2, и p2 - вероятность состояния S2 = K.
Частная производная относительно начальной стоимости акции дает нам ∂C/∂S, что равно -∆ (ответ на вопрос).
Проанализируем теперь различные домены функции ∆(S):
1. Линейный домен: Этот домен существует, когда функция ∆(S) является линейной. Он возникает, когда изменение стоимости опциона пропорционально изменению цены акции. В линейном домене ∆(S) имеет постоянный наклон.
2. Вогнутый домен: Вогнутый домен возникает, когда изменение стоимости опциона меньше, чем пропорциональное изменение цены акции. В этом случае ∆(S) будет выше линии секущей выбранной касательной.
3. Выпуклый домен: Выпуклый домен возникает, когда изменение стоимости опциона больше, чем пропорциональное изменение цены акции. В этом случае ∆(S) будет ниже линии секущей выбранной касательной.
Домены можно определить, анализируя вероятности и доходы от выполнения опциона в зависимости от изменения цены акции.
Однако также важно отметить, что график ∆(S) может различаться в зависимости от конкретной модели, используемой для определения изменения цены акции и стоимости опциона. В данной задаче была использована стандартная одношаговая биномиальная модель.
Таким образом, график ∆(S) может быть построен после определения вероятностей и доходов от выполнения опциона для разных значений цены акции в следующем периоде. На основе этих данных можно вычислить стоимость опциона в текущем периоде и соответствующее значение ∆(S). Затем можно повторить этот процесс для разных значений начальной стоимости акции S и построить график.
Заметим, что при строго выпуклой функции график ∆(S) может близко приближаться прямой линии до некоторой точки, после которой график станет очень крутым и будет строго выпуклым (помните, что выпуклая функция выглядит вверх). Точно так же, если функция строго вогнута, график может близко приближаться к прямой линии, а затем стать очень крутым и строго вогнутым (помните, что вогнутая функция выглядит вниз).