Дан треугольник MNK, в котором известны значения сторон MN и NK, а также известно значение угла MNK. Требуется найти значение стороны MK. Для решения этой задачи воспользуемся законом косинусов, который позволяет найти значение одной из сторон треугольника, если известны значения двух сторон и угол между ними. Закон косинусов формулируется следующим образом: c^2 = a^2 + b^2 - 2ab * cos(C), где с - сторона треугольника, противолежащая углу C, a и b - стороны треугольника, образующие угол C. В нашем случае стороны MN и NK являются сторонами треугольника, образующими угол MNK, который равен 135 градусам. Мы хотим найти сторону MK, противолежащую этому углу. Заметим, что сторона MK является гипотенузой прямоугольного треугольника MNK, так как она является наибольшей стороной и противолежит прямому углу. Так как угол MNK равен 135 градусам, то треугольник MNK является непрямоугольным. Отсюда следует, что треугольник MK является прямоугольным, а сторона MN является его катетом. Поэтому мы можем воспользоваться соответствующим разложением треугольника MK на два прямоугольных треугольника: MNK и MKK', где KK' является высотой проведенной из вершины K на сторону MN. В таком случае, сторона MK будет являться гипотенузой прямоугольного треугольника MKK'. Мы знаем, что сторона MN равна 8 и сторона NK равна 8√2. Теперь можем применить закон косинусов для треугольника MNK, чтобы найти сторону MK: MN^2 = MK^2 + NK^2 - 2 * MK * NK * cos(MNK). Подставим известные значения и решим полученное уравнение: (8)^2 = MK^2 + (8√2)^2 - 2 * MK * 8√2 * cos(135°). 64 = MK^2 + 128 - 16√2 * MK * (-1/√2). 64 = MK^2 + 128 + 16MK. MK^2 + 16MK + 64 - 128 = 0. MK^2 + 16MK - 64 = 0. Теперь мы можем решить полученное квадратное уравнение с помощью квадратного корня: MK = (-16 ± √(16^2 - 4 * 1 * (-64))) / (2 * 1). MK = (-16 ± √(256 + 256)) / 2. MK = (-16 ± √512) / 2. MK = (-16 ± √(256 * 2)) / 2. MK = (-16 ± 16√2) / 2. MK = -8 ± 8√2. Таким образом, получаем два возможных значения для стороны MK: -8 + 8√2 и -8 - 8√2. Однако, стороны треугольника не могут быть отрицательными, поэтому отбросим отрицательное значение и останется только одно допустимое значение: MK = -8 + 8√2. Итак, значение стороны MK равно -8 + 8√2.