Для решения этой системы уравнений мы можем использовать метод Гаусса или метод Крамера. Давайте выберем метод Крамера, так как нам дана трехмерная система уравнений, и этот метод может быть более эффективным в данном случае. Сначала нужно найти главный определитель матрицы коэффициентов системы уравнений. Это делается путем составления матрицы, где каждая строка представляет коэффициенты соответствующих переменных уравнений, и находим определитель. Матрица коэффициентов будет выглядеть следующим образом: | 1 5 -1 | | 2 1 -2 | | 1 -4 -1 | Определитель этой матрицы, или главный определитель, вычисляется как разность суммы произведений элементов главной диагонали (от левого верхнего угла до правого нижнего угла) и суммы произведений элементов побочной диагонали (от правого верхнего угла до левого нижнего угла). То есть: det(A) = (1 * 1 * -1) + (2 * -4 * -1) + (5 * -2 * 1) - ((-1 * 1 * 2) + (-4 * -2 * 1) + (5 * 1 * 1)) = (-1) + (8) + (-10) - (-2 + 8 + 5) = -1 + 8 - 10 + 2 - 8 - 5 = -14. Следующим шагом является нахождение трех определителей, с которыми мы разделите главный определитель для каждой переменной (x, y и z). Мы заменяем столбец с соответствующей переменной на правую часть системы уравнений и находим определитель каждого. Определитель для x: | -1 5 -1 | | 7 1 -2 | | 0 -4 -1 | det(Ax) = (-1 * 1 * -1) + (7 * -4 * -1) + (5 * -2 * 0) - ((-1 * 1 * -2) + (-4 * -2 * 0) + (5 * 7 * -1)) = (-1) + (28) + (0) - (-2 + 0 - 35) = -1 + 28 + 0 + 2 + 35 = 64. Определитель для y: | 1 -1 -1 | | 2 7 -2 | | 1 0 -1 | det(Ay) = (1 * 7 * -1) + (2 * 0 * -1) + (-1 * -1 * -2) - ((-1 * 0 * -1) + (-1 * -1 * -1) + (2 * 7 * -2)) = (-7) + (0) + (2) - (0 - 1 + 28) = -7 + 0 + 2 + 0 + 1 - 28 = -32. Определитель для z: | 1 5 7 | | 2 1 2 | | 1 -4 0 | det(Az) = (1 * 1 * 0) + (2 * -4 * 7) + (5 * 2 * 1) - ((7 * 1 * 5) + (1 * 2 * 0) + (5 * -4 * 1)) = (0) + (-56) + (10) - (35 + 0 - 20) = -46. Теперь мы можем найти значения x, y и z, разделив каждый определитель переменной на главный определитель. x = det(Ax) / det(A) = 64 / -14 = -32/7. y = det(Ay) / det(A) = -32 / -14 = 16/7. z = det(Az) / det(A) = -46 / -14 = 23/7. Таким образом, решение системы уравнений равно x = -32/7, y = 16/7 и z = 23/7.