Дано неравенство (3 + 2ax + 3x^2)/(x^2 + x + 1) >= 2. Для начала, можно заметить, что знаменатель у нас всегда положительный, так как это квадратный трехчлен, а его дискриминант отрицательный (D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4*1*1 = -3 < 0). Теперь рассмотрим знак числителя 3 + 2ax + 3x^2. Для этого проанализируем его коэффициенты и дискриминант. Квадратный трехчлен 3x^2 + 2ax + 3 имеет дискриминант D = (2a)^2 - 4*3*3 = 4a^2 - 36. Рассмотрим его значения: 1) Если D > 0, то уравнение имеет два различных действительных корня, следовательно, знак числителя 3 + 2ax + 3x^2 будет меняться при переходе через эти корни. 2) Если D = 0, то уравнение имеет один действительный корень кратности 2. В этом случае, знак числителя 3 + 2ax + 3x^2 будет меняться в точке этого корня. 3) Если D < 0, то уравнение не имеет действительных корней. Тогда знак числителя 3 + 2ax + 3x^2 не будет меняться. Теперь рассмотрим знак разности числителя и знаменателя, то есть (3 + 2ax + 3x^2)/(x^2 + x + 1) - 2 >= 0. Перепишем выражение при общем знаменателе: (3 + 2ax + 3x^2)/(x^2 + x + 1) - 2 = (3 + 2ax + 3x^2 - 2x^2 - 2x - 2)/(x^2 + x + 1). Упростим числитель выражения: 3 + 2ax + 3x^2 - 2x^2 - 2x - 2 = x^2 + 2ax + 3 - 2x^2 - 2x - 2 = -x^2 + 2ax - 2x + 1. Теперь перепишем неравенство: (-x^2 + 2ax - 2x + 1)/(x^2 + x + 1) >= 0. Определение знака рационального числа проводится в два этапа: 1) Проанализируем знак числителя (-x^2 + 2ax - 2x + 1). Для начала рассмотрим знак дискриминанта D = (2a)^2 - 4*(-1)*1 = 4a^2 + 4 > 0. Так как D > 0, то наш квадратный трехчлен имеет два действительных корня. Мы можем найти их, решив уравнение -x^2 + 2ax - 2x + 1 = 0. По формуле дискриминанта, x = (-2a ± √D)/(-2), где D = 4a^2 + 4. Значит, корни уравнения равны x1 = (-2a + 2√(a^2 + 1))/2 = -a + √(a^2 + 1) и x2 = (-2a - 2√(a^2 + 1))/2 = -a - √(a^2 + 1). Второй этап - это анализ знаков на интервалах между и после корней (-∞, x1), (x1, x2) и (x2, +∞). Обратим внимание, что знаменатель (x^2 + x + 1) на этих интервалах всегда положителен. Теперь проанализируем знак числителя на каждом из интервалов. 1. При x < -a - √(a^2 + 1) (на интервале (-∞, x1)). Заметим, что (-x^2 + 2ax - 2x + 1) < 0, так как квадратный трехчлен с отрицательным главным членом имеет максимум, и его значение равно D/(-4) = -(a^2 + 1). 2. При -a - √(a^2 + 1) < x < -a + √(a^2 + 1) (на интервале (x1, x2)). Заметим, что (-x^2 + 2ax - 2x + 1) > 0, так как квадратный трехчлен с положительным главным членом имеет минимум, и его значение равно D/(-4) = -(a^2 + 1). 3. При x > -a + √(a^2 + 1) (на интервале (x2, +∞)). Заметим, что (-x^2 + 2ax - 2x + 1) < 0, так как квадратный трехчлен с отрицательным главным членом опять имеет максимум, и его значение равно D/(-4) = -(a^2 + 1). Итак, у нас получается, что в зависимости от значений a, знак числителя меняется внутри интервалов, а на концах этих интервалов он сохраняется. 2) Проанализируем знак знаменателя (x^2 + x + 1). Рассмотрим квадратный трехчлен x^2 + x + 1. Определение его знака можно провести по следующей формуле: D = b^2 - 4ac = 1 - 4*1*1 = -3 < 0. Дискриминант отрицателен, значит, у нас никогда не будет изменения знака знаменателя. Теперь соберем всю информацию вместе. Мы выяснили, что числитель (-x^2 + 2ax - 2x + 1) меняет знаки при переходе через корни -a - √(a^2 + 1) и -a + √(a^2 + 1) (если они существуют). Знаменатель (x^2 + x + 1) всегда положителен. Рассмотрим разность числителя и знаменателя (-x^2 + 2ax - 2x + 1)/(x^2 + x + 1) - 2. 1) При a < -1: У квадратного трехчлена a^2 + 1 не будет действительных корней, так как его дискриминант отрицателен. Значит, знак числителя (-x^2 + 2ax - 2x + 1) не меняется. Знаменатель (x^2 + x + 1) всегда положителен. Итого, мы имеем ситуацию, когда числитель отрицателен, а знаменатель положителен. Разность будет отрицательной на всей числовой оси, кроме участка между корнями и вне их, где она положительна. Получается, -∞ < x < -a - √(a^2 + 1) и -a + √(a^2 + 1) < x < +∞ являются решениями неравенства. 2) При a = -1: У квадратного трехчлена a^2 + 1 имеется один действительный корень, а именно a = -1. Подставим a = -1 в корни из нашего анализа: x1 = -a + √(a^2 + 1) = -(-1) + √((-1)^2 + 1) = 1 + √2. x2 = -a - √(a^2 + 1) = -(-1) - √((-1)^2 + 1) = 1 - √2. Поэтому, рациональное число (-1 + √2) - это точка перегиба нашей функции. Значит, знак разности меняется на этой точке. В точке x = -1 + √2 числитель равен нулю: (-x^2 + 2ax - 2x + 1) = -(x - (-1 + √2))^2 = 0. Знаменатель (x^2 + x + 1) всегда положителен. Значит, разность (-x^2 + 2ax - 2x + 1)/(x^2 + x + 1) - 2 < 0 при x < x2 = 1 - √2 и при x > x1 = 1 + √2. В интервале между этими точками знак разности положителен. Получается, -∞ < x < 1 - √2 и 1 + √2 < x < +∞ являются решениями неравенства. 3) При a > -1: У квадратного трехчлена a^2 + 1 будет два действительных корня, a - √(a^2 + 1) и a + √(a^2 + 1). Знак числителя (-x^2 + 2ax - 2x + 1) будет меняться при переходе через эти корни. Знаменатель (x^2 + x + 1) всегда положителен. Если a - √(a^2 + 1) < a + √(a^2 + 1), то разность (-x^2 + 2ax - 2x + 1)/(x^2 + x + 1) - 2 < 0 будет на интервалах (-∞, a - √(a^2 + 1)) и (a + √(a^2 + 1), +∞), а на интервале (a - √(a^2 + 1), a + √(a^2 + 1)) - разность будет положительна. Значит, необходимо рассмотреть неравенства: a - √(a^2 + 1) < a + √(a^2 + 1) и a - √(a^2 + 1) > a + √(a^2 + 1). Первое неравенство можно упростить: - √(a^2 + 1) < √(a^2 + 1). Так как a > -1, то √(a^2 + 1) > 0 и √(a^2 + 1) > -√(a^2 + 1), поэтому неравенство выполняется. Второе неравенство можно упростить: - √(a^2 + 1) > √(a^2 + 1). Запишем его эквивалентно: √(a^2 + 1) < -√(a^2 + 1). Такого быть не может, так как √(a^2 + 1) > 0, а правая часть неравенства отрицательна. Значит, мы имеем два случая: - a - √(a^2 + 1) < a + √(a^2 + 1): Знак разности (-x^2 + 2ax -