Дана игра, в которой участвуют 11 футболистов. В каждом раунде один футболист становится вратарем, а другой бьет пенальти. За забитый пенальти игрок получает 7 очков, а вратарь, отразивший удар, — 9 очков. Если вратарь отбивает удар, то со забившего игрока снимается 2 очка. Изначально у каждого футболиста по 10 очков. После 100 ударов стало известно, что у каждого из 10 игроков есть 11 очков. Требуется определить, сколько очков есть у одиннадцатого футболиста. Обозначим за X количество очков у одиннадцатого футболиста. За 100 ударов каждый футболист сыграл по одному разу вратарем и бьющим пенальти. У каждого из 10 футболистов, получивших 11 очков, 10 очков было изначально, а еще 1 очко они могли получить за забитый пенальти. Рассмотрим очки футболистов, снятые и начисленные в ходе игры. За 100 ударов каждый из 10 футболистов, набравших 11 очков, забил 10 раз, поэтому у каждого из них 10 начисленных очков за успешные пенальти. Также каждый из этих 10 футболистов стоял вратарем по 90 раз, поскольку всего было 100 ударов, и они сыграли одно против проигравших ими 90 раз. Вратарю начисляется 9 очков за отражение пенальти, таким образом, каждый из этих 10 футболистов получил начисленно 9 х 90 = 810 очков за отраженные пенальти. Посчитаем количество снятых очков с этих 10 футболистов. Каждый из них пропустил 90 пенальти (количество ударов минус количество отраженных пенальти), поэтому каждому футболисту было снято 90 х 2 = 180 очков. Таким образом, у каждого из этих 10 футболистов было изначально 10 очков + 10 начисленных за успешные пенальти x 10 ударов – 180 снятых очков = 10 + 100 – 180 = -70 очков. В итоге каждый из 10 футболистов, набравших 11 очков, на самом деле имеет -70 очков. Запишем систему уравнений для 11 игроков, где X – количество очков одиннадцатого футболиста: 10 + 10 х 10 – 180 + X – 11 х 2 = 11 Выразим X: 100 – 180 + X – 22 = 11 X = 22 – 11 + 80 = 91 Таким образом, у одиннадцатого футболиста есть 91 очко.