Для определения функций, которые удовлетворяют условиям теоремы Коши на отрезке [1,4], необходимо проверить выполнение двух условий: 1. Непрерывность функций на отрезке [1,4]. 2. Ограниченность функций на отрезке [1,4]. Рассмотрим каждый из представленных вариантов ответа и проверим выполнение этих условий: А) y_1 = x^2-2x+3 и y_2 = x^3-7x^2+20x-5: 1. Функции y_1 и y_2 являются полиномами и, следовательно, непрерывны на всей числовой прямой, включая отрезок [1,4]. Условие непрерывности выполняется. 2. Проверим ограниченность функций на отрезке [1,4]. Рассмотрим функцию y_1 = x^2-2x+3. Найдем ее максимальное значение на отрезке [1,4] путем нахождения экстремумов и сравнения значений в этих точках. Для этого найдем производную функции y_1: y_1'(x) = 2x - 2. Для нахождения стационарных точек приравняем производную к нулю: 2x - 2 = 0. Решая это уравнение, получаем: x = 1. Теперь проверим значения функции на границах отрезка [1,4]: y_1(1) = 1^2 - 2 * 1 + 3 = 2, y_1(4) = 4^2 - 2 * 4 + 3 = 7. Таким образом, функция y_1 = x^2-2x+3 неограничена на отрезке [1,4]. Аналогично проверим значения функции y_2 = x^3-7x^2+20x-5: y_2'(x) = 3x^2 - 14x + 20. Для нахождения стационарных точек приравняем производную к нулю: 3x^2 - 14x + 20 = 0. Дискриминант этого квадратного уравнения равен: D = (-14)^2 - 4 * 3 * 20 = 196 - 240 = -44. Так как дискриминант отрицательный, квадратное уравнение не имеет действительных корней. Следовательно, функция y_2 не имеет стационарных точек на отрезке [1,4]. Таким образом, функции y_1 = x^2-2x+3 и y_2 = x^3-7x^2+20x-5 не удовлетворяют условиям теоремы Коши на отрезке [1,4]. B) y_1 = x^3 и y_2 = x^2: 1. Функции y_1 и y_2 являются полиномами и непрерывны на всей числовой прямой, включая отрезок [1,4]. Условие непрерывности выполняется. 2. Рассмотрим функцию y_1 = x^3. Найдем ее максимальное значение на отрезке [1,4] путем нахождения экстремумов и сравнения значений в этих точках. Для этого найдем производную функции y_1: y_1'(x) = 3x^2. Единственная стационарная точка на отрезке [1,4] это x = 0, но она не находится на отрезке [1,4]. Так как функция является монотонно возрастающей на всей числовой прямой, ее значения будут ограничены на отрезке [1,4]. Аналогично проверим значения функции y_2 = x^2: y_2'(x) = 2x. Функция является монотонно возрастающей на всей числовой прямой, и ее значения также будут ограничены на отрезке [1,4]. Таким образом, функции y_1 = x^3 и y_2 = x^2 удовлетворяют условиям теоремы Коши на отрезке [1,4]. C) y_1 = e^x и y_2 = x^2/(1+x)^2: 1. Функции y_1 и y_2 являются элементарными функциями и непрерывны на всей числовой прямой, включая отрезок [1,4]. Условие непрерывности выполняется. 2. Проверим ограниченность функций на отрезке [1,4]. Рассмотрим функцию y_1 = e^x. Функция является возрастающей на всей числовой прямой, и ее значения ограничены на отрезке [1,4]. Аналогично проверим значения функции y_2 = x^2/(1+x)^2 на отрезке [1,4]. y_2(1) = (1^2)/(1+1)^2 = 1/4, y_2(4) = (4^2)/(4+1)^2 = 16/25. Таким образом, функции y_1 = e^x и y_2 = x^2/(1+x)^2 удовлетворяют условиям теоремы Коши на отрезке [1,4]. D) y_1 = x^2 и y_2 = √x: 1. Функция y_1 = x^2 является полиномом и непрерывна на всей числовой прямой, включая отрезок [1,4]. Условие непрерывности выполняется. 2. Рассмотрим функцию y_2 = √x. Функция является возрастающей на всей числовой прямой, и ее значения ограничены на отрезке [1,4]. Таким образом, функции y_1 = x^2 и y_2 = √x удовлетворяют условиям теоремы Коши на отрезке [1,4]. E) y_1 = (4-x)^2 и y_2 = x^3-5: 1. Функции y_1 и y_2 являются полиномами и непрерывны на всей числовой прямой, включая отрезок [1,4]. Условие непрерывности выполняется. 2. Проверим ограниченность функций на отрезке [1,4]. Рассмотрим функцию y_1 = (4-x)^2. Функция является возрастающей на всей числовой прямой, и ее значения ограничены на отрезке [1,4]. Аналогично проверим значения функции y_2 = x^3-5 на отрезке [1,4]: y_2(1) = 1^3 - 5 = -4, y_2(4) = 4^3 - 5 = 59. Таким образом, функции y_1 = (4-x)^2 и y_2 = x^3-5 не удовлетворяют условиям теоремы Коши