Для решения данной задачи, нам потребуется использовать свойство остатка от деления.
Исходя из свойства остатка от деления, можно записать равенство:
a = (b * q) + r
Где a - исходное число, b - делитель, q - результат целочисленного деления a на b, r - остаток от деления a на b.
Также известно, что:
a ≡ r (mod b)
Теперь рассмотрим нашу задачу: найти остаток от деления 2^1000 на 99.
Сначала посмотрим на некоторые степени числа 2, чтобы найти закономерность:
2^1 ≡ 2 (mod 99)
2^2 ≡ 4 (mod 99)
2^3 ≡ 8 (mod 99)
2^4 ≡ 16 (mod 99)
...
Можно заметить, что остатки от деления степеней числа 2 на 99 образуют циклическую последовательность: 2, 4, 8, 16, ... Используя это, можно сделать вывод, что остаток от деления любой степени 2 на 99 будет находиться в этой последовательности.
Теперь посмотрим на остатки от деления степеней числа 2 на 99:
2^1 ≡ 2 (mod 99)
2^2 ≡ 4 (mod 99)
2^3 ≡ 8 (mod 99)
2^4 ≡ 16 (mod 99)
2^5 ≡ 32 (mod 99)
2^6 ≡ 64 (mod 99)
2^7 ≡ 28 (mod 99)
2^8 ≡ 56 (mod 99)
2^9 ≡ 11 (mod 99)
2^10 ≡ 22 (mod 99)
2^11 ≡ 44 (mod 99)
2^12 ≡ 88 (mod 99)
2^13 ≡ 77 (mod 99)
2^14 ≡ 55 (mod 99)
2^15 ≡ 31 (mod 99)
2^16 ≡ 62 (mod 99)
...
Можно заметить, что остатки от деления степеней числа 2 на 99 образуют циклическую последовательность длиной 12: 2, 4, 8, 16, 32, 64, 28, 56, 11, 22, 44, 88, 77, 55, 31, 62, ...
Таким образом, остаток от деления 2^1000 на 99 будет равен остатку от деления 1000 на 12, так как это число показывает, сколько циклов из последовательности 2, 4, 8, 16, 32, 64, 28, 56, 11, 22, 44, 88, 77, 55, 31, 62, ... нужно пройти, чтобы достичь 2^1000.
Остаток от деления 1000 на 12 равен 8. Значит, остаток от деления 2^1000 на 99 равен остатку от деления 2^8 на 99.
Теперь вычислим остаток от деления 2^8 на 99:
2^8 ≡ 256 (mod 99)
Для удобства можно выразить 256 как сумму двух чисел: 200 и 56. Таким образом, остаток от деление 2^8 на 99 можно найти, вычислив остатки от деления 200 и 56 на 99, а затем сложив их.
Остаток от деления 200 на 99 равен 2 (200 ≡ 2 (mod 99)).
Остаток от деления 56 на 99 равен 56 (56 ≡ 56 (mod 99)).
Таким образом, остаток от деления 2^8 на 99 равен:
2^8 ≡ 2 + 56 ≡ 58 (mod 99)
Итак, остаток от деления 2^1000 на 99 равен остатку от деления 2^8 на 99, то есть 58.
