Для нахождения остатка от деления больших чисел можно использовать свойство остатка от деления. Если a и b - целые числа, а и b > 0, то для любого целого числа n выполняется следующее свойство: (a^n) mod b = ((a mod b)^n) mod b В нашем случае a = 2, n = 1000 и b = 99. Мы можем написать 2^1000 в виде (2^10)^100, так как 1000 = 10 * 100. Используя свойство, получим: (2^1000) mod 99 = ((2^10 mod 99)^100) mod 99 Теперь осталось найти 2^10 mod 99. Мы можем разложить 2^10 = 1024 на множители и заменить их остатками от деления на 99: 2^10 mod 99 = (1024 mod 99) = (25 mod 99) Теперь мы можем вернуться к изначальному выражению: (2^1000) mod 99 = ((25 mod 99)^100) mod 99 Чтобы найти (25 mod 99)^100, мы можем снова использовать свойство остатка от деления: (25^100) mod 99 = ((25 mod 99)^100) mod 99 Теперь мы можем заменить 25^100 на (25 mod 99)^100: (25^100) mod 99 = ((25 mod 99)^100) mod 99 Осталось найти остаток от деления (25 mod 99)^100 на 99. Для этого можно построить таблицу остатков, возведя 25 mod 99 в разные степени и находя остаток от деления на 99. Степень 25 mod 99 Остаток от деления на 99 1 25 2 1 3 25 4 1 5 25 6 1 Мы видим, что степень (25 mod 99)^100 чередуется между 25 и 1. Поскольку 100 делится на 6 без остатка, мы можем снова использовать свойство остатка от деления: (25^100) mod 99 = ((25 mod 99)^100) mod 99 = ((25^6 mod 99)^16) mod 99 Теперь мы можем заменить (25^6 mod 99)^16 на (25 mod 99)^16: (25^100) mod 99 = ((25^6 mod 99)^16) mod 99 = ((25 mod 99)^16) mod 99 Мы можем вычислить (25 mod 99)^16, используя таблицу остатков: (25^16) mod 99 = ((25 mod 99)^16) mod 99 = (1^16) mod 99 = 1 mod 99 = 1 Таким образом, остаток от деления 2^1000 на 99 равен 1.