Дано, что у приведенных квадратных трехчленов одинаковые дискриминанты, которые больше 0. Пусть эти трехчлены имеют вид:
(ax^2 + bx + c_1), (ax^2 + bx + c_2) и (ax^2 + bx + c_3), где (a), (b), (c_1), (c_2), (c_3) - произвольные целые числа.
Также известно, что все корни трехчленов упорядочены по возрастанию:
(x_1 < x_2 < x_3 < x_4 < x_5 < x_6)
Заметим, что для квадратного трехчлена (ax^2 + bx + c) дискриминант вычисляется по формуле:
(D = b^2 - 4ac)
Так как дискриминанты трехчленов одинаковы и больше 0, то:
(b_1^2 - 4ac_1 = b_2^2 - 4ac_2 = b_3^2 - 4ac_3 = D > 0)
Пусть (p = b^2 - 4ac) - общий дискриминант трехчленов.
Тогда можно записать систему уравнений:
[
begin{cases}
1^2 - 4ac_1 = p \
13^2 - 4ac_2 = p \
14^2 - 4ac_3 = p
end{cases}
)
Имеем:
[
begin{cases}
1 - 4ac_1 = p \
169 - 4ac_2 = p \
196 - 4ac_3 = p
end{cases}
)
Вычтем первое уравнение из второго:
(169 - 1 - 4ac_2 + 4ac_1 = p - p)
(168 - 4ac_2 + 4ac_1 = 0)
(- 4ac_2 + 4ac_1 = - 168)
(- 4ac_2 + 4ac_1 = - 4ac_1 + 4ac_1)
(- 4ac_2 = - 4ac_1)
(c_2 = c_1)
Выполним аналогичные действия для второго и третьего уравнений системы:
(196 - 169 - 4ac_3 + 4ac_2 = p - p)
(4ac_2 - 4ac_3 = 27)
(4ac_1 - 4ac_3 = 27)
(c_3 - c_1 = 27/4)
Таким образом, получили, что (c_2 - c_1 = 0) и (c_3 - c_1 = 27/4). Зная, что (c_1), (c_2), (c_3) - целые числа, можем заключить, что (c_1), (c_2), (c_3) являются целыми числами, равными 0 или 1.
Рассмотрим случай, когда (c_1 = 0). Подставим это значение в первое уравнение системы:
(1 - 4a cdot 0 = p)
(p = 1)
Таким образом, получаем, что приведенные трехчлены имеют вид:
(ax^2 + bx), (ax^2 + bx + 1) и (ax^2 + bx + 1), где (a), (b) - произвольные целые числа.
Зная, что соответствующие корни трехчленов равны 1, 13, 14 и 27, можно записать систему уравнений:
[
begin{cases}
a + b = 0 \
a cdot 1^2 + b cdot 1 = 1 \
a cdot 13^2 + b cdot 13 = 1 \
a cdot 27^2 + b cdot 27 = 1
end{cases}
)
Запишем первое уравнение в виде:
(b = -a)
Подставим второе уравнение:
(a + (-a) = 0)
Уравнение выполняется, корректное решение. Имеем:
(b = -a)
Также подставим третье и четвертое уравнение:
(169a - 13a = 1) и (729a - 27a = 1)
(- 156a = 1) и (702a = 1)
Таким образом, получаем, что (a = -1/156) и (a = 1/702), что противоречит тому, что (a) - целое число.
Таким образом, случай (c_1 = 0) невозможен.
Рассмотрим случай, когда (c_1 = 1). Подставим это значение в первое уравнение системы:
(1 - 4a cdot 1 = p)
(p = 1 - 4a)
Таким образом, получаем, что приведенные трехчлены имеют вид:
(ax^2 + bx + 1), (ax^2 + bx + 1) и (ax^2 + bx + 1), где (a), (b) - произвольные целые числа.
Зная, что соответствующие корни трехчленов равны 1, 13, 14 и 27, можно записать систему уравнений:
[
begin{cases}
a + b = 0 \
a cdot 1^2 + b cdot 1 = 1 \
a cdot 13^2 + b cdot 13 = 1 \
a cdot 27^2 + b cdot 27 = 1
end{cases}
)
Запишем первое уравнение в виде:
(b = -a)
Подставим второе уравнение:
(a + (-a) = 0)
Уравнение выполняется, корректное решение. Имеем:
(b = -a)
Также подставим третье и четвертое уравнение:
(169a - 13a = 1) и (729a - 27a = 1)
(156a = 1) и (702a = 1)
Таким образом, получаем, что (a = 1/156) и (a = 1/702), что противоречит тому, что (a) - целое число.
Таким образом, рассмотренные случаи не подходят.
Значит, возможно значение (c_1 = 1) не является целым числом.
Следовательно, решение данной задачи невозможно.
Ответ: решений нет.
