Даны три квадратных трехчлена с одинаковыми дискриминантами, большими 0. Пусть эти трехчлена имеют вид: (a_1 x^2 + b_1 x + c_1) (a_2 x^2 + b_2 x + c_2) (a_3 x^2 + b_3 x + c_3) Запишем условия задачи: (x_1 < x_2 < x_3 < x_4 < x_5 < x_6) и (x_1 = 1), (x_2 = 11), (x_3 = 12), (x_6 = 23). Так как у трехчленов одинаковый дискриминант, можно записать систему уравнений, используя формулы дискриминанта: (D_1 = b_1^2 - 4a_1c_1) (D_2 = b_2^2 - 4a_2c_2) (D_3 = b_3^2 - 4a_3c_3) Находим значения дискриминантов подстановкой известных значений корней: (D_1 = (11^2) - 4 cdot a_1 cdot c_1) (D_2 = (12^2) - 4 cdot a_2 cdot c_2) (D_3 = (23^2) - 4 cdot a_3 cdot c_3) Так как все дискриминанты больше 0, то соответствующие трехчлены имеют два различных корня: (x_{1,2} = frac{-b_{1,2} pm sqrt{D_1}}{2a_1}) (x_{3,4} = frac{-b_{2,3} pm sqrt{D_2}}{2a_2}) (x_{5,6} = frac{-b_{3,4} pm sqrt{D_3}}{2a_3}) В данном случае корни упорядочены по возрастанию, поэтому для каждого уравнения отдельно можно записать: (x_1 = frac{-b_1 - sqrt{D_1}}{2a_1}) (x_2 = frac{-b_1 + sqrt{D_1}}{2a_1}) (x_3 = frac{-b_2 - sqrt{D_2}}{2a_2}) (x_4 = frac{-b_2 + sqrt{D_2}}{2a_2}) (x_5 = frac{-b_3 - sqrt{D_3}}{2a_3}) (x_6 = frac{-b_3 + sqrt{D_3}}{2a_3}) Применим полученные результаты к данной задаче. Имеем: (x_1 = 1) (x_2 = 11) (x_3 = 12) (x_6 = 23) Так как (x_6 = x_{5,6}), мы можем записать: (23 = frac{-b_3 + sqrt{D_3}}{2a_3}) Раскроем скобки и получим: (46a_3 = -b_3 + sqrt{D_3}) Так как (D_3) больше 0, оставляем только положительный корень: (46a_3 - sqrt{D_3} = -b_3) Так как (a_3), (D_3) и (b_3) являются целыми числами, то и (46a_3 - sqrt{D_3}) - целое число. Значит, -b_3 тоже целое число. При этом (a_3) и (D_3) являются положительными числами, так как иначе дискриминант становится отрицательным. То есть, -b_3 - отрицательное целое число. Мы знаем, что (x_1) и (x_2) являются корнями трехчлена с дискриминантом (D_1). Запишем формулы для этих корней: (1 = frac{-b_1 - sqrt{D_1}}{2a_1}) (11 = frac{-b_1 + sqrt{D_1}}{2a_1}) Умножим оба уравнения на 2a_1 и сложим, чтобы избавиться от (b_1): (2a_1 + 22a_1 = -2b_1) Получаем формулу для (b_1): (b_1 = -12a_1) Так как (b_1) - отрицательное целое число, значит, (a_1) положительное целое число. Рассмотрим связь между трехчленами: (11 = frac{-b_1 + sqrt{D_1}}{2a_1}) (12 = frac{-b_2 - sqrt{D_2}}{2a_2}) (23 = frac{-b_3 + sqrt{D_3}}{2a_3}) Обозначим как (x_{4a}) и (x_{4b}) два возможных значения для корня (x_4): (x_{4a} = frac{-b_2 + sqrt{D_2}}{2a_2}) (x_{4b} = frac{-b_3 - sqrt{D_3}}{2a_3}) Так как (x_1 < x_2 < x_3), то (x_1) меньше корня трехчлена с дискриминантом (D_2), а (x_3) больше корня трехчлена с дискриминантом (D_1). Имеем: (x_1 < x_{4a}) (x_{4b} < x_3) Так как (x_{4b} = x_4), то имеем: (x_4 < x_3) Подставим полученные значения для (x_1), (x_2), (x_3), (x_4) и (x_5) в уравнения (x_{4a}) и (x_{4b}) и рассмотрим их относительное положение: (11 = frac{-b_1 + sqrt{D_1}}{2a_1}) (12 = frac{-b_2 - sqrt{D_2}}{2a_2}) (x_{4a} = frac{-b_2 + sqrt{D_2}}{2a_2}) (x_{4b} = frac{-b_3 - sqrt{D_3}}{2a_3}) (x_5 = frac{-b_3 - sqrt{D_3}}{2a_3}) Разность между (x_{4a}) и (x_5) равна (1): (x_{4a} - x_5 = 1) Подставим значение (x_{4a}): (frac{-b_2 + sqrt{D_2}}{2a_2} - frac{-b_3 - sqrt{D_3}}{2a_3} = 1) Раскроем скобки: (frac{-b_2 + sqrt{D_2}}{2a_2} + frac{b_3 + sqrt{D_3}}{2a_3} = 1) Домножим все слагаемые на (2a_2a_3): ((-b_2 + sqrt{D_2})a_3 + (b_3 + sqrt{D_3})a_2 = 2a_2a_3) (-b_2a_3 + sqrt{D_2}a_3 + b_3a_2 + sqrt{D_3}a_2 = 2a_2a_3) Или, используя значения (b_1) и (b_3): (-12a_3a_2 + sqrt{D_2}a_3 + b_3a_2 + sqrt{D_3}a_2 = 2a_2a_3) Выразим из этого уравнения (b_3a_2): (b_3a_2 = 12a_2a_3 - sqrt{D_2}a_3 - sqrt{D_3}a_2) Так как (b_3) является отрицательным целым числом, то (b_3a_2) - также отрицательное целое число. Поэтому (12a_2a_3), (sqrt{D_2}a_3) и (sqrt{D_3}a_2) являются положительными целыми числами. Теперь рассмотрим связь между (x_4) и (x_5). Имеем: (x_{4b} < x_3) (x_{5} < x_4) Подставим значения (x_{4b}) и (x_{5}) и рассмотрим их относительное положение: (frac{-b_3 - sqrt{D_3}}{2a_3} < 12) (frac{-b_3 - sqrt{D_3}}{2a_3} < x_4) Умножим оба неравенства на (2a_3) и упростим: (-b_3 - sqrt{D_3} < 24a_3) (-b_3 - sqrt{D_3} < 2a_3x_4) Добавим полученное неравенство к равенству (b_3a_2 = 12a_2a_3 - sqrt{D_2}a_3 - sqrt{D_3}a_2): (-b_3 - sqrt{D_3} + b_3a_2 < 2a_3x_4 + b_3a_2) (- sqrt{D_3} < 2a_3x_4 + b_3a_2) Воспользуемся полученным выражением для (b_3a_2): (- sqrt{D_3} < 2a_3x_4 + (12a_2a_3 - sqrt{D_2}a_3 - sqrt{D_3}a_2)) Упростим: (- sqrt{D_3} < 2a_3x_4 + 12a_2a_3 - sqrt{D_2}a_3 - sqrt{D_3}a_2) Отбросим равные слагаемые: (- sqrt{D_3} < 2a_3x_4 - sqrt{D_2}a_3 - sqrt{D_3}a_2) Выразим из этого неравенства (2a_3x_4): (2a_3x_4 - sqrt{D_3}a_2 > - sqrt{D_3} + sqrt{D_2}a_3) Ранее мы доказали, что (-b_3 - sqrt{D_3}) является отрицательным целым числом, поэтому и (- sqrt{D_3} + sqrt{D_2}a_3) - также отрицательное целое число. Значит, при достаточно больших значениях (x_4) получим: (2a_3x_4 > - sqrt{D_3}a_2) Или: ( x_4 > -frac{sqrt{D_3}a_2}{2a_3}) Так как (sqrt{D_3}), (a_2) и (a_3) являются положительными целыми числами, их отношение (-frac{sqrt{D_3}a_2}{2a_3}) будет отрицательным числом. Таким образом, мы получили неравенство (x_4 >) отрицательного числа. Из условий задачи