Построим схему:

A------P----M----Q------D

|_______|_______|_______/|

|       |     / |      / |

|       |    /  |     /  |

|       |   /   |    /   |

|       |  /    |   /    |

|       | /     |  /     |

|       |/      | /      |

|       B--------C       |

_______________________|

Обозначим $angle BAC = angle BDC = alpha $, $angle BCD = angle BAD = beta $. Так как точка $M$ - середина дуги $AD$, $angle MAD = angle MDB = frac{1}{2}(180° - beta) = 90° - frac{1}{2} beta$, $angle AMB = beta - frac{1}{2} beta = frac{1}{2} beta$, $angle AQD = alpha - frac{1}{2} alpha = frac{1}{2} alpha$. Поскольку треугольник $triangle ADB$ прямоугольный, $angle ADB = 90°$. $angle AMB + angle ADB + angle AQD = frac{1}{2} beta + 90° + frac{1}{2} alpha = 180°$. Отсюда: $beta + alpha = 180° - 90° = 90°$ (1). Из пунктов подобия треугольников $triangle BMA$ и $triangle CPD$ получим: $frac{left|BM right|}{left|CM right|} = frac{left|BA right|}{left|CD right|}$ (2). По теореме Безуза: $frac{left|AP right|}{left|AD right|} = frac{left|BP right|}{left|BD right|} $ (3), $frac{left|AQ right|}{left|AD right|} = frac{left|CQ right|}{left|CD right|} $ (4). Обозначим $left| AP right| = a $ и $left| AQ right| = 3a $. Из (3) и (4) получаем: $frac{a}{left| AD right|} = frac{left|BP right|}{left|BD right|}$ (5), $frac{3a}{left| AD right|} = frac{left|CQ right|}{left|CD right|} $ (6). Из (2) получаем: $frac{left|BM right|}{left|CM right|} = frac{left|BA right|}{left|CD right|}$ (7). Приведем (5) к виду (7): $frac{a cdot left|CM right|}{left| AD right|} = frac{cdot left| BP right| cdot left| BA right|}{left| BD right| cdot left| CD right|}$. Приведем (6) к виду (7): $frac{3a cdot left| BM right|}{left| AD right|} = frac{cdot left| CQ right| cdot left| CD right|}{left| BD right| cdot left| BA right|}$. Из (7) получаем: $frac{a cdot left|CM right|}{left| AD right|} cdot frac{3a cdot left| BM right|}{left| AD right|} = frac{cdot left| BP right| cdot left| BA right|}{left| BD right| cdot left| CD right|} cdot frac{cdot left| CQ right| cdot left| CD right|}{left| BD right| cdot left| BA right|}$. $frac{3a^2 cdot left| CM right| cdot left| BM right|}{left| AD right|^2} = frac{ left| BP right| cdot left| CQ right|}{left| BD right| cdot left| CD right|} $ (8). Далее, распишем отношения длин сторон треугольников $triangle BMP$ и $triangle CMT$: $frac{left| BP right|}{left| BM right|} = frac{left| MP right|}{left| MT right|} $ (9), $frac{left| CQ right|}{left| CM right|} = frac{left| MQ right|}{left| MT right|} $ (10). Из (9) и (10) получаем: $frac{left| BP right| cdot left| CQ right|}{left| BM right| cdot left| CM right|} = frac{left| MP right| cdot left| MQ right|}{left| MT right|^2} $ (11). Из того, что сумма всех трех центральных углов, образованных дугами $MP$, $MQ$, $PQ$ равна 360°, получим: $angle MPQ + angle MQP = 360° - angle PMQ$. $angle MPQ + (180° - beta) + (180° - alpha) = 360°$. (12). $alpha + beta + angle MPQ = 360° - 360° + alpha + beta$. (13). Из (13) получим: $angle MPQ = 360° - (alpha + beta) = 360° - 90° = 270°$. Далее, использовав подобие треугольников $triangle BMQ$ и $triangle CMP$, получим: $frac{left| MQ right|}{left| BM right|} = frac{left| MP right|}{left| CM right|} $ (14). Из (14) и (11) получим: $frac{left| MP right| cdot left| MQ right|}{left| MT right|^2} = frac{left| BP right| cdot left| CQ right|}{left| BM right| cdot left| CM right|}$ (13). Переделаем (8) и (13): $frac{3a^2 cdot left| CM right| cdot left| BM right|}{left| AD right|^2} = frac{left| BP right| cdot left| CQ right|}{left| BD right| cdot left| CD right|} $ (8). $frac{left| MP right| cdot left| MQ right|}{left| MT right|^2} = frac{left| BP right| cdot left| CQ right|}{left| BM right| cdot left| CM right|}$ (13). Перемножим (8) и (13): $frac{3a^2 cdot left| CM right| cdot left| BM right|}{left| AD right|^2} cdot frac{left| MP right| cdot left| MQ right|}{left| MT right|^2} = frac{left| BP right| cdot left| CQ right|}{left| BD right| cdot left| CD right|} cdot frac{left| BP right| cdot left| CQ right|}{left| BM right| cdot left| CM right|} $. Опустим практически все знаки модуля (только $left| frac{ left| MP right| }{ left| MT right| } right| = frac{ left| MP right| }{ left| MT right| }$) и получим: $frac{3a^2 cdot CM cdot BM}{AD^2} cdot frac{MP cdot MQ}{MT^2} = frac{BP cdot CQ}{BD cdot CD} cdot frac{BP cdot CQ}{BM cdot CM} $. Обозначим $frac{MP cdot MQ}{MT^2} = frac{p}{t^2}$, где $p$ и $t$ - сегменты сторон. $frac{3a^2 cdot CM cdot BM}{AD^2} cdot frac{p}{t^2} = frac{BP cdot CQ}{BD cdot CD} cdot frac{BP cdot CQ}{BM cdot CM} $. $frac{3a^2 cdot CM}{AD^2} cdot frac{p}{t^2} = frac{BP cdot CQ}{BD cdot CD} cdot frac{BP}{BM cdot CM} $. $frac{3 cdot a^2}{AD^2} = frac{BP}{BD cdot CD}$. (15). Также посмотрим на подобие треугольников $triangle ADP$ и $triangle PMQ$: $frac{left| AP right|}{left| PD right|} = frac{left| MP right|}{left| QD right|} $ (16). Подставляем выражение $AP = a$, $MP = p$: $frac{a}{AD - a} = frac{p}{(1 + 2 + 3)a} = frac{p}{6a} $ (17). Отсюда: $6 cdot AD - 6 cdot a = p$. $frac{BM}{AD} = frac{BP}{BD} $ (18). $frac{CQ}{AD} = frac{CM}{CD} $ (19). Таким образом, выражение $AC cdot BD cdot AB cdot CD$ можно представить в виде: $frac{BM}{AD} cdot frac{CQ}{AD} cdot frac{BM}{AD - BM} cdot frac{CQ}{AD - CQ} cdot frac{AD}{BM} cdot frac{AD}{CQ} cdot frac{3 cdot a^2}{AD^2} = frac{BP}{BD} cdot frac{CM}{CD} cdot frac{p}{AD - BM} cdot frac{p}{AD - CQ} cdot frac{p}{AD} cdot frac{p}{AD} cdot frac{3 cdot a^2}{AD^2} = $ $frac{BP}{BM} cdot frac{CM}{CQ} cdot frac{p cdot p^2 cdot 3 cdot a^2}{AD^4 - AD^3 (BM + CQ) + AD^2 (BM cdot CQ)} = frac{BP}{BM} cdot frac{CM}{CQ} cdot frac{3 cdot a^2 cdot p^3}{AD^4 - AD^3 (BM + CQ) + AD^2 (BM cdot CQ)}$, где $BM + CQ = AD - p$. Теперь посмотрим на треугольник $triangle BMQ$: $angle B + angle alpha + angle beta + angle MPQ + angle Q = 180°$, $90° + alpha + beta + 270° + angle Q = 180°$, $alpha + beta + Q = -180°$ (20). Так как $alpha + beta + angle MQB = 0°$, получим: $angle Q + angle MQB = 0°$ $angle Q = - angle MQB$. (21). Таким образом, выражение $AC cdot BD cdot AB cdot CD$ можно представить в виде: $frac{3 cdot a^2 cdot p^3 cdot BP cdot CM}{AD^4 - AD^3 (BM + CQ) + AD^2 (BM cdot CQ)} cdot frac{1}{CQ}$. Рассмотрим треугольник $triangle CDB$: $angle CDB + angle MQB + angle B = 180°$, $angle CDB + 0° - 90° = 180°$, $angle CDB = 90°$. Из пунктов подобия треугольников $triangle BMQ$ и $triangle CDB$ получаем: $frac{BM}{BD} = frac{BQ}{BC}$. $frac{BM cdot BC}{BD} = BQ$. (22). Рассмотрим треугольник $triangle BAD$: $angle BAD + angle DMA + angle BDM = 180°$, $angle alpha + angle MQB + beta = 180°$, $alpha + beta = 180°.$ Из (1)