Из условия задачи нам дано: - диаметр окружности Ω1 равен 30, - диаметр окружности Ω2 равен 12, - расстояние между центрами окружностей Ω1 и Ω2 равно 2. Требуется найти периметр треугольника, вершинами которого являются центры окружностей ω, Ω1 и Ω2. Для решения задачи воспользуемся свойствами касательных и вспомним основные формулы, связанные с окружностями. Из условия задачи следует, что окружность ω касается окружности Ω1 внутренним образом и окружности Ω2 внешним образом. Это значит, что окружность ω касается окружности Ω1 и окружности Ω2 в одной точке каждая. Свойство касательной к окружности гласит, что касательная, проведенная к окружности в точке касания, является перпендикуляром к радиусу, проведенному из центра окружности в эту точку. Поскольку окружность ω касается окружности Ω1 внутренним образом, проведем радиус из центра окружности Ω1 в точку касания с окружностью ω. Обозначим эту точку касания как A. Также проведем радиус из центра окружности Ω2 в точку касания с окружностью ω. Обозначим эту точку как B. Так как радиус, проведенный из центра окружности в точку касания, является перпендикуляром к касательной, то отрезки AO и BO являются радиусами окружностей Ω1 и Ω2 соответственно, и они равны половине диаметров этих окружностей. Запишем полученную информацию: AO = 30/2 = 15, BO = 12/2 = 6. Теперь соединим центры окружностей Ω1 и Ω2 отрезком O1O2. Этот отрезок является сегментом прямой, проходящей через центры окружностей ω, Ω1 и Ω2. Поскольку O1A и O2B являются радиусами, проведенными к касательной, и они перпендикулярны к O1O2, то треугольник O1O2A является прямоугольным, а треугольник O1O2B также является прямоугольным. Значит, углы O1AO2 и O1BO2 прямые. Теперь обратимся к треугольнику O1O2B. Он является прямоугольным, и у него известны два катета: O1O2, равный 2, и O2B, равный 6. Воспользуемся теоремой Пифагора для нахождения гипотенузы O1B: O1B^2 = O1O2^2 + O2B^2, O1B^2 = 2^2 + 6^2, O1B^2 = 4 + 36, O1B^2 = 40. Извлечем корень из обеих частей: O1B = √40 = 2√10. Таким образом, мы нашли длину стороны треугольника O1O2B. Отметим ее. Теперь рассмотрим треугольник O1O2A. Он также является прямоугольным, и у него известны два катета: O1O2, равный 2, и O1A, равный 15. Воспользуемся теоремой Пифагора для нахождения гипотенузы O2A: O1A^2 = O1O2^2 + O2A^2, 15^2 = 2^2 + O2A^2, 225 = 4 + O2A^2, O2A^2 = 225 - 4, O2A^2 = 221. Извлечем корень из обеих частей: O2A = √221. Таким образом, мы нашли длину стороны треугольника O1O2A. Отметим ее. Теперь у нас есть длины всех сторон треугольника O1O2A: O1O2 = 2, O1B = 2√10, и O2A = √221. Для нахождения периметра треугольника O1O2A сложим длины его сторон: Периметр треугольника O1O2A = O1O2 + O1B + O2A = 2 + 2√10 + √221. Таким образом, периметр треугольника с вершинами в центрах окружностей ω, Ω1 и Ω2 равен 2 + 2√10 + √221. И это искомый ответ на задачу.