Для решения этой задачи, мы можем воспользоваться свойствами касательных и хорд окружности. Поскольку окружность ω касается Ω1 внутренним образом и Ω2 - внешним, то мы знаем, что линии, соединяющие центры окружностей, будут перпендикулярны в точке касания. Таким образом, мы можем провести линию, проходящую через центры окружностей ω и Ω1 и получить треугольник с двумя сторонами, равными радиусам окружностей. Пусть эти стороны равны r1 и r2. Касательные к окружности Ω1 и Ω2 в точке касания с окружностью ω образуют угол прямой. Значит, треугольники, образованные этими касательными и сторонами треугольника с центрами окружностей, будут прямоугольными. Теперь мы можем использовать теорему Пифагора для наших прямоугольных треугольников: - В треугольнике с центром в Ω1 и сторонами r1 и d (диаметр О1О2) использование теоремы Пифагора дает нам r1^2 + (d/2)^2 = (r1 + r2)^2. - В треугольнике с центром в Ω2 и сторонами r2 и d тот же принцип приводит к r2^2 + (d/2)^2 = (r1 + r2)^2. Теперь, с помощью этих двух уравнений, мы можем найти значения r1 и r2. - r1^2 + (d/2)^2 = (r1 + r2)^2 - r2^2 + (d/2)^2 = (r1 + r2)^2 Раскроем скобки: - r1^2 + (d^2)/4 = r1^2 + 2*r1*r2 + r2^2 - r2^2 + (d^2)/4 = r1^2 + 2*r1*r2 + r2^2 Упрощаем: - (d^2)/4 = 2*r1*r2 - (d^2)/4 = 2*r1*r2 Теперь можем выразить r1 и r2 через d: - r1 = (d^2)/(8*r2) - r2 = (d^2)/(8*r1) Так как диаметры окружностей Ω1 и Ω2 равны 30 и 12 соответственно, то d = 30 - 12 = 18. Теперь подставим d = 18 в наши выражения: - r1 = (18^2)/(8*r2) = 324/(8*r2) - r2 = (18^2)/(8*r1) = 324/(8*r1) Так как в задаче дано, что расстояние между центрами окружностей равно 2, то треугольник с центрами окружностей ω, Ω1 и Ω2 будет прямоугольным, и диаметры окружностей Ω1 и Ω2 будут его катетами. Теперь мы можем найти длину третьей стороны треугольника с помощью теоремы Пифагора: - c^2 = a^2 + b^2 - c^2 = (30/2)^2 + (12/2)^2 - c^2 = 15^2 + 6^2 - c^2 = 225 + 36 - c^2 = 261 Таким образом, c = sqrt(261). Осталось только найти периметр треугольника, сложив длины его сторон: - Периметр = r1 + r2 + c - Периметр = 324/(8*r2) + 324/(8*r1) + sqrt(261) Выражение r1 + r2 можно записать в форме общего знаменателя: - Периметр = (324*r1 + 324*r2)/(8*r1*r2) + sqrt(261) Вставим значения, найденные ранее: - Периметр = (324*r1 + 324*r2)/(8*r1*r2) + sqrt(261) Таким образом, периметр треугольника с вершинами в центрах окружностей ω, Ω1 и Ω2 равен (324*r1 + 324*r2)/(8*r1*r2) + sqrt(261).