Для решения данной задачи нам понадобится система уравнений. Обозначим цифры, которые входят в пятизначное число Яны, как a, b, c, d, e (а именно, число Яны представляет собой abcde). Также обозначим цифры, которые входят в число, предложенное Тимофеем, как x, y, z, t, u (то есть число Тимофея — xyztu).
Исходя из условия задачи, имеем два уравнения:
1) abcde - xyztu = 2
2) abcde - xyztu = 3
На основании этих уравнений мы сможем найти значения цифр a, b, c, d, e. Затем выписывая все пятизначные числа, подходящие под ответы Яны, мы сможем найти их сумму.
Давайте посмотрим на первое уравнение:
abcde - xyztu = 2
Нам известно, что в числе Яны (abcde) есть две верные цифры, то есть две цифры также присутствуют в числе Тимофея (xyztu) и стоят на тех же самых местах. Поэтому мы можем записать следующие уравнения:
a = x
b = y
Остальные цифры могут быть неправильными, поэтому мы не можем установить точные соответствия между ними. Однако, мы знаем, что они все разные. Поэтому мы можем записать следующие неравенства:
c ≠ x, c ≠ y
d ≠ x, d ≠ y, d ≠ c
e ≠ x, e ≠ y, e ≠ c, e ≠ d
Теперь, взяв во внимание все эти ограничения и зная, что числа состоят из цифр 0-9, мы можем выписать все возможные значения цифр a, b, c, d, e. В этом случае получим следующие варианты:
a = 2, b = 0, c = 4, d = 8, e = 9
a = 2, b = 0, c = 4, d = 9, e = 7
a = 2, b = 0, c = 7, d = 8, e = 9
a = 5, b = 6, c = 7, d = 8, e = 9
Теперь найдем значение суммы чисел, выписанных Тимофеем.
Для этого вспомним, что второе уравнение имеет вид:
abcde - xyztu = 3
Нам известно, что в числе Яны (abcde) есть три верные цифры, которые также присутствуют в числе Тимофея (xyztu) и стоят на тех же самых местах. Поэтому мы можем записать новые уравнения:
a = x
b = y
c = z
Остальные цифры могут быть неправильными, поэтому мы не можем установить точные соответствия между ними. Но мы также знаем, что все цифры разные. Исходя из этого, мы можем записать следующие неравенства:
d ≠ x, d ≠ y, d ≠ z
e ≠ x, e ≠ y, e ≠ z, e ≠ d
t ≠ x, t ≠ y, t ≠ z, t ≠ d, t ≠ e
u ≠ x, u ≠ y, u ≠ z, u ≠ d, u ≠ e, u ≠ t
Теперь, взяв во внимание все эти ограничения и зная, что числа состоят из цифр 0-9, мы можем выписать все возможные значения цифр a, b, c, d, e. В результате получим следующие варианты:
a = 1, b = 5, c = 6, d = 7, e = 3
a = 1, b = 5, c = 7, d = 3, e = 6
a = 1, b = 5, c = 7, d = 6, e = 2
a = 1, b = 5, c = 9, d = 2, e = 3
a = 1, b = 5, c = 9, d = 3, e = 2
a = 1, b = 9, c = 2, d = 3, e = 5
a = 1, b = 9, c = 2, d = 5, e = 3
a = 1, b = 9, c = 3, d = 2, e = 5
a = 1, b = 9, c = 3, d = 5, e = 2
a = 1, b = 9, c = 5, d = 2, e = 3
a = 1, b = 9, c = 5, d = 3, e = 2
a = 1, b = 9, c = 6, d = 2, e = 3
a = 1, b = 9, c = 6, d = 3, e = 2
a = 1, b = 9, c = 7, d = 2, e = 3
a = 1, b = 9, c = 7, d = 3, e = 2
a = 2, b = 6, c = 4, d = 8, e = 9
a = 2, b = 6, c = 9, d = 4, e = 8
a = 2, b = 6, c = 9, d = 8, e = 4
a = 2, b = 8, c = 4, d = 6, e = 9
a = 2, b = 8, c = 6, d = 4, e = 9
a = 2, b = 8, c = 9, d = 4, e = 6
a = 2, b = 9, c = 4, d = 6, e = 8
a = 2, b = 9, c = 4, d = 8, e = 6
a = 2, b = 9, c = 6, d = 4, e = 8
a = 2, b = 9, c = 6, d = 8, e = 4
a = 2, b = 9, c = 8, d = 4, e = 6
a = 2, b = 9, c = 8, d = 6, e = 4
a = 4, b = 8, c = 6, d = 2, e = 9
a = 4, b = 8, c = 9, d = 6, e = 2
a = 4, b = 9, c = 6, d = 2, e = 8
a = 4, b = 9, c = 6, d = 8, e = 2
a = 9, b = 5, c = 6, d = 7, e = 3
a = 9, b = 5, c = 7, d = 3, e = 6
a = 9, b = 5, c = 7, d = 6, e = 2
a = 9, b = 5, c = 9, d = 2, e = 3
a = 9, b = 5, c = 9, d = 3, e = 2
a = 9, b = 7, c = 2, d = 3, e = 5
a = 9, b = 7, c = 2, d = 5, e = 3
a = 9, b = 7, c = 3, d = 2, e = 5
a = 9, b = 7, c = 3, d = 5, e = 2
a = 9, b = 7, c = 5, d = 2, e = 3
a = 9, b = 7, c = 5, d = 3, e = 2
a = 9, b = 7, c = 6, d = 2, e = 3
a = 9, b = 7, c = 6, d = 3, e = 2
a = 9, b = 7, c = 8, d = 2, e = 3
a = 9, b = 7, c = 8, d = 3, e = 2
Теперь мы можем просуммировать все возможные пятизначные числа, полученные на основе этих вариантов:
20489 + 20694 + 20984 + 24689 + 26984 + 29684 + 29486 + 28594 + 29685 + 29846 + 29864 + 40689 + 46984 + 49684 + 49486 + 48594 + 49685 + 49846 + 49864 + 56984 + 59684 + 59486 + 58594 + 59685 + 59846 + 59864 + 69684 + 69486 + 68594 + 69685 + 69846 + 69864 + 78594 + 79685 + 79846 + 79864 + 85694 + 86984 + 89684 + 89486 + 88594 + 89685 + 89846 + 89864 = 3671352
Следовательно, сумма чисел, выписанных Тимофеем, равна 3 671 352.
