Для решения данной задачи воспользуемся свойствами вписанных четырехугольников и пропорциями.
Поскольку точка M является серединой дуги AD, значит, AM = MD.
Пусть AM = x, тогда MD = x (или можно сказать, что дуга AD делится точкой M на две равные части).
Также известно, что АР : PQ : QD = 1 : 3 : 2.
АР = x, PQ = 3x и QD = 2x.
Теперь рассмотрим треугольники ABM и CDM.
В данных треугольниках углы BMA и CMD являются соответственными углами (опираются на одну и ту же дугу AD), следовательно, данные углы равны.
Аналогично, углы MBA и MDC являются соответственными, поэтому они также равны.
Получаем, что треугольники ABM и CDM являются подобными.
Поскольку AM = MD, то эти треугольники равнобедренные.
Таким образом, BM = MD и CM = AM.
Также, по свойству равнобедренного треугольника, получаем, что углы ABM и BMD равны, а углы CDM и CMD равны.
Из этого следует, что треугольники ABM и CBM также являются подобными, поскольку имеют равные углы.
Теперь воспользуемся свойством подобных треугольников: соответствующие стороны этих треугольников пропорциональны.
Так как BM = MD и CM = AM, то соответствующие стороны AB и CD также пропорциональны.
То есть AB : CD = BM : CM.
Поскольку BM = MD и CM = AM, получаем AB : CD = x : x, что равно 1 : 1.
Таким образом, стороны AB и CD равны.
Из этого следует, что четырехугольник ABCD является ромбом.
В ромбе диагонали перпендикулярны и делятся пополам.
В нашем случае, диагонали AC и BD являются главными диагоналями.
Поэтому точка M является точкой их пересечения и также является серединой каждой диагонали.
Значит, в треугольнике MDC, стороны DM и DC являются радиусами окружности П.
Таким образом, DM = DC.
Теперь вспомним, что АР : PQ : QD = 1 : 3 : 2.
Мы уже знаем, что АР = x, а QD = 2x, поэтому PQ = 3x.
Так как диагонали главных треугольников ромба перпендикулярны и делятся пополам, можно сказать, что MQ является высотой треугольника MDC.
То есть MQ является высотой, проведенной к основанию DC.
Теперь можем воспользоваться свойствами равнобедренного треугольника MDC.
Поскольку MQ является высотой, то DM (равный DC) является основанием треугольника MDC.
Значит, получаем, что DC = 2MQ или DM = 2MQ.
Так как MQ = PQ/2 и PQ = 3x, получаем:
DM = 2MQ = 2(PQ/2) = PQ.
Таким образом, DM равно PQ.
Окончательно, значение данного выражения равно PQ.
