Дано: Четырёхугольник ABCD вписан в окружность Ω. Точка M — середина дуги AD окружности Ω, не содержащей точек B и C. Отрезки BM и CM пересекают отрезок AD в точках P и Q соответственно. Известно, что AP:PQ:QD=1:5:2. Нам нужно вычислить значение выражения AC⋅BDAB⋅CD. Обозначим точку пересечения BM и CM как O. Так как M — середина дуги AD, то OM будет являться радиусом окружности Ω. Поскольку BM и CM являются хордами окружности, то точки P и Q делят хорду AD на отрезки AP, PQ и QD в соотношении 1:5:2. Из этого следует, что AP/QD = 1/2 и AP/PQ = 1/5. Рассмотрим треугольник BPO. По теореме Птолемея для четырехугольника ABCD с радиусом R (в данном случае радиусом окружности Ω) получим: AC⋅BD + AD⋅BC = AB⋅CD. Из свойств вписанного четырехугольника следует, что AB = CD и AC = BD. Подставим эти значения в уравнение: AC⋅BD + AD⋅BC = AB⋅CD. AC⋅BD + AD⋅AC = AC⋅CD. BD + AD = CD. Из рисунка видно, что AD = DM + AM и BD = BM - MD. Заменим AD и BD в уравнении: DM + AM + BM - DM = CD. AM + BM = CD. Рассмотрим треугольник AOM. По теореме Птолемея для четырехугольника AMPB с радиусом OM получим: AM⋅BP + AP⋅BM = AB⋅MP. Из свойств равнобедренного треугольника AMO (так как OM — радиус окружности, а OA и AO являются радиусами), получим: AM = AO и MO = OM. Подставим эти значения в уравнение: AO⋅BP + AP⋅AO = AB⋅MO. AO⋅BP + AP⋅AO = AB⋅OM. AO(BP + AP) = AB⋅OM. Из свойств вписанного четырехугольника ABCD следует, что AB = CD. Заменим AB на CD в уравнении: AO(BP + AP) = CD⋅OM. AO(BP + AP) = CD⋅OM. BP + AP = CD⋅OM/AO. BP + AP = CD⋅OM/RA. BP + AP = CD⋅OM/OM. BP + AP = CD. Получаем, что BP + AP = CD. Таким образом, AM + BM = BP + AP = CD. Подставим это значение в первое уравнение: AC⋅BD + CD = AC⋅CD. BD + 1 = CD. BD = CD - 1. Теперь нам нужно выразить BD и CD через стороны ABCD. AC⋅BD = AC⋅(CD - 1) = AC⋅CD - AC. По теореме о расстояниях в окружности получим, что AC = 2⋅OM. Подставим это значение в уравнение: AC⋅CD - AC = 2⋅OM⋅CD - 2⋅OM. Теперь нам нужно выразить OM и CD через AP, PQ и QD. Заметим, что треугольники AMP и DMQ подобны, так как у них соответствующие углы равны (так как они вертикальные) и у них одна общая сторона (DM), поэтому они подобны по двум углам. Из подобия треугольников следует, что AM/AQ = MP/MQ. Мы знаем, что AP/PQ = 1/5, поэтому MP/MQ = 1/5. Также известно, что AP/QD = 1/2, поэтому AM/AQ = 1/2. Вспомним, что AC = 2⋅OM. Тогда AM = AO + OM = AC/2 + OM = 2⋅OM/2 + OM = 3⋅OM/2. Также заметим, что AQ = AD + DQ. Известно, что AP:PQ:QD=1:5:2, поэтому AQ = AP + PQ + QD = AP + 5⋅PQ + 2⋅PQ = AP + 7⋅PQ = 8⋅PQ. Таким образом, AM/AQ = (3⋅OM/2)/(8⋅PQ) = (3⋅OM)/(16⋅PQ). Из подобия треугольников также следует, что MQ/MQ = DM/DQ. DM = AQ - DQ = 8⋅PQ - 2⋅PQ = 6⋅PQ. Теперь мы можем записать уравнение, выражающее OM через AP, PQ и QD: OM = MQ + MD = 6⋅PQ + PQ = 7⋅PQ. Подставляем это в уравнение: AC⋅CD - AC = 2⋅OM⋅CD - 2⋅OM. 2⋅OM = 7⋅PQ, поэтому AC⋅CD - AC = 14⋅PQ⋅CD - 14⋅PQ. Теперь нам нужно выразить CD через AC, AB и BC. Снова воспользуемся теоремой Птолемея для четырехугольника ABCD с радиусом R: AC⋅BD + AD⋅BC = AB⋅CD. Из свойств вписанного четырехугольника следует, что AB = CD и AC = BD. Подставим эти значения в уравнение: AC⋅BD + AD⋅BC = AC⋅CD. BC = AD⋅AC/AC = AD. AC⋅BD + AD⋅AD = AC⋅CD. BD + AD = CD. Теперь нам нужно выразить BD и CD через AP, PQ и QD. Заметим, что треугольники AMP и DMQ подобны, так как у них соответствующие углы равны (так как они вертикальные) и у них одна общая сторона (DM), поэтому они подобны по двум углам. Из подобия треугольников следует, что DM/DQ = AM/AQ. Мы знаем, что AP/QD = 1/2, поэтому DM/DQ = AM/AQ = 1/2. Также заметим, что AD = DM + MQ. Из подобия треугольников также следует, что MQ/MQ = DM/DQ. DM = MQ + MD = AQ - DQ + MD. DM = AQ - DQ + MD. DQ - DQ = MD - MQ. DQ = MD - MQ. Теперь мы можем записать уравнение, выражающее CD через AC, AB и BC: CD = AD + DQ = AD + (MD - MQ) = AD + (BC - PQ) = AD + (AD - 8⋅PQ). Теперь мы можем выразить CD через AC, AB и BC: CD = AD + (AD - 8⋅PQ) = 2⋅AD - 8⋅PQ. Подставляем это в уравнение: AC⋅CD - AC = 14⋅PQ⋅CD - 14⋅PQ. AC⋅(2⋅AD - 8⋅PQ) - AC = 14⋅PQ⋅(2⋅AD - 8⋅PQ) - 14⋅PQ. AC⋅2⋅AD - AC⋅8⋅PQ - AC = 28⋅(2⋅AD - 8⋅PQ)⋅PQ - 14⋅PQ. Упрощаем уравнение: 2⋅AC⋅AD - 8⋅AC⋅PQ - AC = 28⋅(2⋅AD⋅PQ - 8⋅PQ⋅PQ) - 14⋅PQ. Упрощаем дальше: 2⋅AD - 8⋅PQ - 1 = 28⋅(2⋅AD⋅PQ - 8⋅PQ⋅PQ) - 14⋅PQ. Раскрываем скобки: 2⋅AD - 8⋅PQ - 1 = 56⋅AD⋅PQ - 224⋅PQ⋅PQ - 14⋅PQ. Упрощаем: 2⋅AD - 8⋅PQ - 1 = 56⋅AD⋅PQ - 230⋅PQ⋅PQ. Переносим все слагаемые в левую часть уравнения: 56⋅AD⋅PQ - 230⋅PQ⋅PQ - 2⋅AD + 8⋅PQ + 1 = 0. Теперь нам нужно решить это уравнение относительно PQ. Разложим его на множители: (7⋅AD - 23⋅PQ)(8⋅AD - PQ - 1) = 0. Так как разложение на множители 4-го порядка может быть сложным, попробуем рассмотреть различные случаи. 1) (7⋅AD - 23⋅PQ) = 0. Решаем это уравнение относительно PQ: 7⋅AD = 23⋅PQ. PQ = (7⋅AD)/23. Таким образом, известно значение PQ. 2) (8⋅AD - PQ - 1) = 0. Решаем это уравнение относительно PQ: PQ = 8⋅AD - 1. Таким образом, известно значение PQ. Мы можем решить это уравнение, используя известные значения AP:PQ:QD = 1:5:2. Из этого следует, что PQ = 5⋅AP и QD = 2⋅AP. Подставляем эти значения: PQ = 8⋅AD - 1. 5⋅AP = 8⋅AD - 1. AP = (8⋅AD - 1)/5. Таким образом, известно значение AP. Теперь мы можем рассчитать значение выражения AC⋅BD/AB⋅CD: AC⋅BD/AB⋅CD = AC⋅(CD - 1)/AB⋅CD = 2⋅OM⋅(2⋅AD - 8⋅PQ)/AC⋅CD = 2⋅(7⋅PQ)/AC⋅CD = 2⋅(7⋅PQ)/(2⋅AD - 8⋅PQ). Подставляем известные значения: AC⋅BD/AB⋅CD = 2⋅(7⋅PQ)/(2⋅AD - 8⋅PQ) = 2⋅(7⋅(7⋅AD)/23)/(2⋅AD - 8⋅(7⋅AD)/23) = (98⋅AD)/23/(2⋅AD - (56⋅AD)/23) = (98/23)/(2 - 56