Для решения этой задачи воспользуемся свойствами трapeзоида с вписанной окружностью (Брикара). Так как точка M — середина дуги AD, не содержащей точки B и C, то угол ACD равен углу AMD. А так как BM и CM — биссектрисы этих углов, то углы ABM и CBM равны углам BAM и CAM соответственно. Также углы BMA и CMA равны половине угла BCD, так как центр окружности лежит на его биссектрисе. Поэтому BMA = CMA = (180° - BCD) / 2 = (180° - 2⋅ACD) / 2 = 90° - ACD. Также из условия задачи AP:PQ:QD=1:3:2, получаем, что AP / (AP + PQ + QD) = 1 / 6. Обозначим AD = x. Тогда PQ = (3 / 6)⋅x = x / 2 и AP = (x / 2) - x / 6 = x / 3. Отсюда получаем, что PD = 2⋅x / 3. Теперь рассмотрим треугольник BMA. Мы уже знаем, что угол BMA = 90° - ACD. Также у него углы MBA и MAB равны друг другу, так как BM является биссектрисой угла BMA. Значит, угол MBA = (180° - (90° - ACD)) / 2 = (90° + ACD) / 2 = (180° - 2⋅ACD) / 2 = 90° - ACD. То есть угол BMA равен углу MBA. Также у него сторона AB равна стороне BM, так как BM является радиусом окружности. Поэтому треугольник BMA равнобедренный. Также в нем углы BMA, MBA и ACD равны. Так как в треугольнике AMB углы BMA и MBA равны, то треугольник AMB является прямоугольным. Из него следует, что AM^2 + MB^2 = AB^2. Так как BM является радиусом окружности, то MB = BM = OB = OA = r, где r — радиус окружности Ω. Получаем, что AM^2 + r^2 = AB^2. Теперь рассмотрим треугольник MCD. У него угол MCD = ACD, так как BM является биссектрисой угла MCD. Также у него сторона CD равна стороне CM, так как CM является радиусом окружности. Поэтому треугольник MCD равнобедренный. Теперь рассмотрим треугольник ODC. У него углы DOC и DCO равны, так как CM является радиусом окружности. Также у него угол ODC = 180° - 2⋅DCO = 180° - 2⋅ACD, так как BM является биссектрисой угла MCD. Таким образом, в треугольнике ODC углы DOC и ODC равны друг другу. Отсюда следует, что треугольник ODC равнобедренный. Также в нем угол DOC = (180° - (180° - 2⋅ACD)) / 2 = ACD. То есть, треугольники ODC и MCD равнобедренные и приложены друг к другу боковым ребром OD. Теперь рассмотрим треугольник AMO. В нем углы AMO и MOA равны, так как BM является биссектрисой угла MCD. Также у него сторона AM равна стороне OM, так как OM является радиусом окружности. Поэтому треугольник AMO равнобедренный. Теперь рассмотрим треугольник AMO. В нем углы AMO и OMA равны друг другу. Число 2 в обоих катетах равно числу 2⋅ACD в гипотенузе. Поэтому треугольник AMO равнобедренный. Из него следует, что OM^2 + AM^2 = AO^2. Так как OM является радиусом окружности, то OM = OA = r. Тогда получаем, что r^2 + AM^2 = AO^2. Теперь мы можем подставить полученные равенства в выражение AC⋅BD/AB⋅CD. Для начала заметим, что AC/AB = (180° - 2⋅ACD) / (180° - 2⋅AMO), так как углы ACD и AMO равны друг другу. Также BD/CD = (180° - 2⋅DCO) / (180° - 2⋅ACO), так как углы DCO и ACO равны друг другу. Тогда получаем, что AC⋅BD/AB⋅CD = (180° - 2⋅ACD) / (180° - 2⋅AMO) ⋅ (180° - 2⋅DCO) / (180° - 2⋅ACO). Теперь заметим, что AMO = 180° - ACD, так как углы AMO и ACD равны друг другу. Также DCO = ACO, так как это соответствующие углы треугольников ОДС и ОМС, а эти треугольники равнобедренные. Получаем, что AC⋅BD/AB⋅CD = (180° - 2⋅ACD) / (180° - 2⋅(180° - ACD)) ⋅ (180° - 2⋅ACO) / (180° - 2⋅ACO) = (180° - 2⋅ACD) / (180° + 2⋅ACD) ⋅ 1 = (1 - 2⋅ACD / 180°) / (1 + 2⋅ACD / 180°) = (1 - ACD / 90°) / (1 + ACD / 90°) = (90° - ACD) / (90° + ACD). Так как угол ACD равен углу BMA, получаем, что AC⋅BD/AB⋅CD = (90° - BMA) / (90° + BMA). Так как углы BMA и MBA равны, то получаем, что AC⋅BD/AB⋅CD = (90° - MBA) / (90° + MBA). Так как треугольник AMB — прямоугольный, у него угол MBA = (180° - угол AMB) / 2 = (180° - (90° - ACD)) / 2 = (90° + ACD) / 2 = (180° - 2⋅ACD) / 2 = 90° - ACD. То есть, AC⋅BD/AB⋅CD = (90° - (90° - ACD)) / (90° + (90° - ACD)) = (90° - 90° + ACD) / (90° + 90° - ACD) = ACD / (180° - ACD). Так как ACD равно половине угла BCD, то получаем, что AC⋅BD/AB⋅CD = BCD / (180° - BCD). Таким образом, значение выражения AC⋅BD/AB⋅CD равно отношению угла BCD к его дополнению до 180°, или, другими словами, отношению угла BCD к углу BAD, который равен сумме углов BCD и BAC. Ответ: Отношение значений AC⋅BD/AB⋅CD равно отношению угла BCD к углу BAD, который равен сумме углов BCD и BAC.