Дан четырёхугольник ABCD, вписанный в окружность. Обозначим его середину дуги AD как точку М. Необходимо найти значение выражения AC⋅BD/AB⋅CD.
Для решения данной задачи воспользуемся свойствами вписанных углов и хорд.
Согласно свойству вписанных углов, угол ∠ABD равен половине периферийного угла, опирающегося на дугу AD. Поскольку точка М является серединой дуги AD, угол ∠ABD равен 90 градусам.
Также, воспользуемся свойством хорд: если хорды AB и CD пересекаются в точке М, то произведение отрезков AM и BM равно произведению отрезков CM и DM.
Разделим оба выражения на AM⋅BM⋅CM⋅DM:
с = AC/AM ⋅ BD/BM ⋅ AM/AB ⋅ CD/CM ⋅ BM/CD ⋅ AM/CM ⋅ CN/CD ⋅ CD/CD = AC/AB ⋅ BD/CD ⋅ Am/CM ⋅ CN/CD.
Поскольку AC/AB и BD/CD — это соответствующие отношения сторон, они равны.
Теперь рассмотрим отношение AM/CM. Отношение дуг AD и MD равно 1:1, поэтому их соответствующие отрезки тоже равны. Следовательно, AM/CM = 1.
Аналогично, CN/CD = 1.
Таким образом, получаем, что выражение сокращается до:
с = AC/AB ⋅ BD/CD ⋅ 1 ⋅ 1 = AC⋅BD/AB⋅CD.
Итак, мы выяснили, что значение выражения AC⋅BD/AB⋅CD равно c. Необходимо найти его значение.
Так как дано, что AP : PQ: QD = 1 : 7 : 2, можно представить отрезки BP и PQ через параметры t и u:
BP = t(PQ + QD) = t(7u + 2u) = t(9u),
PQ = 7tu,
QD = 2tu.
Используя теорему Таллеса, можно записать:
AP/PQ = BD/QD.
Подставим значения AP, BD и QD:
1/(7tu) = BD/(2tu).
Решим этот уравнение относительно BD:
BD = 2tu/7.
Теперь найдём значение выражения AC⋅BD/AB⋅CD, зная BD:
c = AC⋅BD/AB⋅CD = AC⋅(2tu/7)/AB⋅CD = 2tu⋅AC/7AB⋅CD.
Осталось выразить AC через параметры t и u.
Обозначим угол ∠ACB через α. Так как угол ∠ABD равен 90 градусам, угол ∠ADB равен 180 - 90 = 90 градусам.
Теперь рассмотрим треугольник ABD. Из тригонометрического соотношения в прямоугольном треугольнике получаем следующее:
tan(α) = BD/AD.
Подставим значение BD:
tan(α) = 2tu/AD.
Разделим обе части на tan(α):
1 = (2tu)/(AD⋅tan(α)).
Теперь выразим AD через t и u:
AD = 2tu/(tan(α)).
Обратимся к треугольнику ABC. Из тригонометрического соотношения в нём можно записать:
tan(α) = BC/AC.
Выразим AC:
AC = BC/(tan(α)).
Теперь можно заменить AC в выражении c:
c = 2tu⋅BC/(7AB⋅CD⋅(tan(α))) = 2tu⋅BC/(7AB⋅(tan(α))⋅CD).
Итак, чтобы вычислить значение выражения AC⋅BD/AB⋅CD, необходимо знать значения параметров t и u, длины отрезков AB, BC и CD, а также значение тангенса угла α.
Приведём пример расчёта: пусть t = 1, u = 1, AB = 3, BC = 4, CD = 5, tan(α) = 1.
Подставляем значения в выражение c:
c = 2⋅1⋅4/(7⋅3⋅5⋅1) = 8/105.
Таким образом, значение выражения AC⋅BD/AB⋅CD равно 8/105.
