Дан четырёхугольник ABCD, вписанный в окружность. Обозначим его середину дуги AD как точку М. Необходимо найти значение выражения AC⋅BD/AB⋅CD. Для решения данной задачи воспользуемся свойствами вписанных углов и хорд. Согласно свойству вписанных углов, угол ∠ABD равен половине периферийного угла, опирающегося на дугу AD. Поскольку точка М является серединой дуги AD, угол ∠ABD равен 90 градусам. Также, воспользуемся свойством хорд: если хорды AB и CD пересекаются в точке М, то произведение отрезков AM и BM равно произведению отрезков CM и DM. Разделим оба выражения на AM⋅BM⋅CM⋅DM: с = AC/AM ⋅ BD/BM ⋅ AM/AB ⋅ CD/CM ⋅ BM/CD ⋅ AM/CM ⋅ CN/CD ⋅ CD/CD = AC/AB ⋅ BD/CD ⋅ Am/CM ⋅ CN/CD. Поскольку AC/AB и BD/CD — это соответствующие отношения сторон, они равны. Теперь рассмотрим отношение AM/CM. Отношение дуг AD и MD равно 1:1, поэтому их соответствующие отрезки тоже равны. Следовательно, AM/CM = 1. Аналогично, CN/CD = 1. Таким образом, получаем, что выражение сокращается до: с = AC/AB ⋅ BD/CD ⋅ 1 ⋅ 1 = AC⋅BD/AB⋅CD. Итак, мы выяснили, что значение выражения AC⋅BD/AB⋅CD равно c. Необходимо найти его значение. Так как дано, что AP : PQ: QD = 1 : 7 : 2, можно представить отрезки BP и PQ через параметры t и u: BP = t(PQ + QD) = t(7u + 2u) = t(9u), PQ = 7tu, QD = 2tu. Используя теорему Таллеса, можно записать: AP/PQ = BD/QD. Подставим значения AP, BD и QD: 1/(7tu) = BD/(2tu). Решим этот уравнение относительно BD: BD = 2tu/7. Теперь найдём значение выражения AC⋅BD/AB⋅CD, зная BD: c = AC⋅BD/AB⋅CD = AC⋅(2tu/7)/AB⋅CD = 2tu⋅AC/7AB⋅CD. Осталось выразить AC через параметры t и u. Обозначим угол ∠ACB через α. Так как угол ∠ABD равен 90 градусам, угол ∠ADB равен 180 - 90 = 90 градусам. Теперь рассмотрим треугольник ABD. Из тригонометрического соотношения в прямоугольном треугольнике получаем следующее: tan(α) = BD/AD. Подставим значение BD: tan(α) = 2tu/AD. Разделим обе части на tan(α): 1 = (2tu)/(AD⋅tan(α)). Теперь выразим AD через t и u: AD = 2tu/(tan(α)). Обратимся к треугольнику ABC. Из тригонометрического соотношения в нём можно записать: tan(α) = BC/AC. Выразим AC: AC = BC/(tan(α)). Теперь можно заменить AC в выражении c: c = 2tu⋅BC/(7AB⋅CD⋅(tan(α))) = 2tu⋅BC/(7AB⋅(tan(α))⋅CD). Итак, чтобы вычислить значение выражения AC⋅BD/AB⋅CD, необходимо знать значения параметров t и u, длины отрезков AB, BC и CD, а также значение тангенса угла α. Приведём пример расчёта: пусть t = 1, u = 1, AB = 3, BC = 4, CD = 5, tan(α) = 1. Подставляем значения в выражение c: c = 2⋅1⋅4/(7⋅3⋅5⋅1) = 8/105. Таким образом, значение выражения AC⋅BD/AB⋅CD равно 8/105.