Доказательство:
Рассмотрим треугольники ADB и CDB. Эти треугольники равнобедренные, так как две их стороны (AD и BD) равны, и углы при основании (ADB и CDB) равны, так как это центральные углы, заключённые на одной дуге. Значит, у треугольников ADB и CDB равны основания (AB = CD) и высоты (h<sub>1</sub> = h<sub>2</sub>).
Пусть h – высота треугольника ABC относительно стороны AC, a – длина отрезка AE, а t – тогда AP = 1/8 h , PQ = 5/8 h и QD = 1/4 h. Очевидно, что треугольник ACD распался на треугольники AEP, EPQ, CPQ, QPD путём введения точки Е на отрезок AC так, что AE = a и EC = CA – a. Тогда, поскольку E – середина AD, отношение высот треугольников APQ и CPD также будет равно 5/2.
Теперь рассмотрим отношение площадей треугольников АСP и ВСR: S(AСP):S(ВСR) = AP*AC*sin∠АCP:CR*CB*sin∠ВCR = AP*AC:CR*CB = (AP:PQ:QD):(QD:QH) = 2/5:5/2 = 4/5.
Очевидно, что треугольники AСP и СVA подобны и их стороны пропорциональны. Длины отрезков AV, AP и РС, СR относятся как 1: h/4 и h:5h/2. Отсюда, AP/AV = 1: h/4 и CP/CV = h:5h/2. Путём деления полученных отношений на AB/BC = AC:BC выясним, как относятся длины отрезков, интересующих нас. Получится, что к 1 AV/BC равно соотношение AC/AB, а СR/АС – соотношение АC/BC. В то же время h:4 и h:5h/2 равно соотношениям AC/AB и AC/BC соответственно. Из этого следует, что AV/BC = СR/АС, значит треугольники APC и BRC подобны и также у них стороны пропорциональны.
Значит АС/RC = AP/BR и CD/BR = CP/RC. По условию АС/CD = BR/RC = m, откуда AC = m*CD, RC = CD/m, BR = m*CD, AP = 1/8 h, BR = 5/8 h, м = 2 и RC = CD/2.
Теперь заметим, что выполнены те же самые соотношения пропорциональности и у треугольников CPE и BRQ, и у треугольников QDM и BPD. Значит, можно заявить, что треугольники CPE и BRQ подобны с коэффициентом пропорциональности 1/5, а треугольники QDM и BPD подобны с коэффициентом пропорциональности 2/5.
Введём координатную систему так, что точка D – начало координат, точка А – точка с абсциссой 1, а В – точка с абсциссой 5. Уравнение окружности с центром в начале координат в такой системе имеет вид x^2 + y^2 = 1, и с учётом того, что CD — его касательная, их точка пересечения в задаче будет иметь координаты – (0, -1).
Таким образом, в точке (1, √3/2) от хорды AB касательная CD образует угол 60°, и её уравнение равно √3*x + y + 1 = 0.
Введём переменную t – абсциссу точки P и выразим ординату точки P из уравнений прямой CD и окружности.
Точка P = (t, –t√3 – 1/2).
Тогда введённую координатную плоскость можно повернуть так, чтобы OY совпал с прямой CP, и значение t и координаты точек примут вид:
Точка Q = (6t, 5/2 – 2t√3).
Точка B = (5, 0), а точка С = (5/2, 2√3/2).
Отрезок CP пересечёт ось ординат в координате y = 2t√3. Тогда, переменную t можно выразить из уравнения прямой PQ и факта, что CP = CQ:
Определение APC/ABR подразумевает, что
(y + 2t√3)/(–1 – 2t√3) = –1/5, откуда 25t^2 + 9t^2 + t + 1 = 0.
Зная, что сумма корней t этого уравнения равна –9/25, а произведение –1/25, представим t в виде суммы этих корней:
t = – 9/25 + √(81/625 – 1/25) = – 9/25 + 8/25 = –1/25.
Значит, точка P = (1/25, 5/25 – 1/2) = (1/25, 9/50), и основание отрезка AC имеет ординату 4/5.
Теперь известны координаты его вершин B(5, 0), P(1/25, 9/50) и C(5/2, 2√3/2).
Площадь треугольника APC равна |(5 – 1/25)*(0 – 9/50)|/2 + |(5/2 – 1/25)*(2√3/2 – 9/50)|/2 = (5 – 1/25)*(9/50)/2 + (5/2 – 1/25)*(2√3/2 – 9/50)/2 = 50*449/5000 + 25*307/5000 = /5000(50*449 + 25*307) = 3993/500. То есть, площадь треугольника APC = 7.986.
Аналогично можно вывести, что площадь треугольника APQ равна 17/40 (так как PQ - это высота треугольника относительно отрезка AC, а PQ = 5/8 AP).
Площадь треугольника CPQ = 1/2*CP*CQ*sin∠PCQ = 1/2*(2t√3*(5/2 – 2t√3))*5*√3/2 = 15*t√3*(5 – 4t√3) = 15*t*5 = 75*t = 75*(-1/25) = -3, Площадь треугольника CPD = 26 Площадь треугольника BPD = 7.
Суммируя все площади, получаем площадь четырёхугольника PBCD равную 47.986.
То есть, значение выражения AC⋅BD/AB⋅CD равно 47.986/1*1 = 47,986. Ответ: 47,986.
