Для решения данной задачи воспользуемся свойствами вписанного четырехугольника и теоремой косинусов. Мы знаем, что вписанный четырехугольник ABCD описан около окружности. Из этого следует, что сумма противоположных углов этого четырехугольника равна 180 градусов. То есть, ∠ABC + ∠CDA = 180 градусов. Заметим, что середина дуги AD, не содержащей точек B и C, лежит на прямой, соединяющей середины дуг AD и BC. Пусть точка O - центр окружности Ω, тогда O должна быть серединой дуги BC. Пусть точка N - середина дуги AD. Тогда MN является средней линией треугольника BCD, и она параллельна стороне BD. Пусть F - точка пересечения MN и AD. Так как BM и CM пересекают AD в точках P и Q соответственно, из свойств средней линии треугольника следует, что: PF = (AD - PQ) / 2 и FQ = (AD - PQ) / 2. Заметим, что ∠BPF = ∠BAC и ∠CQF = ∠DAC. Так как ∠BAC = ∠DAC = 90 градусов (углы вписанного четырехугольника с вершинами на окружности), то у нас получается два прямоугольных треугольника BPF и CQF. Теперь воспользуемся теоремой косинусов для прямоугольных треугольников BPF и CQF. Для треугольника BPF получаем: BP² = BF² + PF². Аналогично, для треугольника CQF получаем: CQ² = CF² + QF². Так как PQ = 2PF (согласно задаче), заменим PF в этом уравнении и получим: BP² = BF² + (AD - PQ)² / 4. Аналогично, CQ² = CF² + (AD - PQ)² / 4. Теперь запишем отношение AP:PQ:QD, которое равно 1:5:2: AP / PQ = 1 / 5 и PQ / QD = 5 / 2. Из первого уравнения получаем: PQ = AP / 5. Из второго уравнения получаем: PQ = 2QD / 5. Теперь подставим эти значения в предыдущие уравнения: BP² = BF² + (AD - AP/5)² / 4, CQ² = CF² + (AD - 2QD/5)² / 4. Также заметим, что BF = CF (обе точки являются серединами соответствующих радиусов окружности и потому равны). Подставим это в уравнение: BP² = CF² + (AD - AP/5)² / 4, CQ² = CF² + (AD - 2QD/5)² / 4. Заметим, что AD = AP + PQ + QD (в сумме эти отрезки составляют сторону AD). Подставим это и подставим выражение PQ из отношения AP:PQ:QD: BP² = CF² + (AP + AP/5 + 2QD/5 - AP/5)² / 4, CQ² = CF² + (AP + AP/5 + 2QD/5 - 2QD/5)² / 4. Упростим эти уравнения, раскрыв скобки и объединив подобные слагаемые: BP² = CF² + (7AP + 2QD)² / 100, CQ² = CF² + (6AP - QD)² / 100. Заменим BF = CF: BP² = BF² + (7AP + 2QD)² / 100, CQ² = BF² + (6AP - QD)² / 100. Заметим, что у нас сделать только один шаг, чтобы увидеть следующую важную информацию: BP² - BF² = (7AP + 2QD)² / 100 - (6AP - QD)² / 100 = = (49AP² + 14APQD + 4QD²) / 100 - (36AP² - 12APQD + QD²) / 100 = = (AP² + 26APQD + 5QD²) / 100 = = (AP + 5QD)² / 100. Аналогично, CQ² - CF² = (6AP - QD)² / 100 - (7AP + 2QD)² / 100 = = (36AP² - 12APQD + QD²) / 100 - (49AP² + 14APQD + 4QD²) / 100 = = (5AP² - 26APQD + 5QD²) / 100 = = (5AP - 5QD)² / 100. Теперь запишем уравнение ∠ABC + ∠CDA = 180 градусов. Из этого уравнения получаем уравнение ∠ABC = 180 - ∠CDA. Но ∠CDA = ∠CQD (углы с той же дугой), а ∠ABC = ∠BPF (углы с той же дугой). Поэтому ∠BPF = 180 - ∠CQD, что означает, что треугольники BPF и CQD являются сходными. То есть, BP / PQ = CQ / QD, (BP/PQ)² = (CQ/QD)². Подставим эти значения в полученные уравнения: (BP / PQ)² = (CQ / QD)² = ((AP + 5QD) / PQ)² = ((6AP - QD) / QD)². Заметим, что PQ = AP / 5 (из отношения AP:PQ:QD), подставим это: ((AP + 5QD) / AP / 5)² = ((6AP - QD) / QD)². Упростим это уравнение: (5(AP + 5QD) / AP)² = (QD(6AP - QD) / QD)². Раскроем квадраты и удалим общие делители: (25(AP² + 10APQD + 25QD²) / AP²) = ((6QD + QD²)² / QD²), 25(AP² + 10APQD + 25QD²) = ((6QD + QD²)² / QD²) * AP². Подставим выражение QD = 5PQ / 2 из отношения AP:PQ:QD: 25(AP² + 10APQD + 25QD²) = ((6QD + QD²)² / QD²) * AP² = 25(AP² + 10AP(5PQ/2) + 25(5PQ/2)²) = ((6(5PQ/2) + (5PQ/2)²)² / (5PQ/2)²) * AP². Упростим это уравнение, удалив общие делители и раскрыв квадраты: 4(AP² + 10AP(5PQ/2) + 25(5PQ/2)²) = (24PQ + 25PQ² / 4)² / (25PQ² / 4) * AP². Дальше укажите, что нужно сделать.