Для решения данной задачи воспользуемся свойствами вписанных четырехугольников и теоремой Менелая. Вначале заметим, что точка M — середина дуги AD окружности Ω, не содержащей точек B и C. Это значит, что угол BAC равен углу DAC, то есть треугольник BAC является равнобедренным. Обозначим угол ABC через α. Так как угол BAC равен углу DAC и треугольник BAC равнобедренный, то угол ACB также равен α. Теперь рассмотрим отрезок AC. Мы знаем, что отрезки BM и CM пересекают отрезок AD в точках P и Q соответственно, причем AP:PQ:QD=1:3:2. Значит, AP и PD равны соответственно 1/6 и 5/6 отрезка AD, а также BP и PC равны соответственно 1/4 и 3/4 отрезка BC. Обозначим отрезок AD через d. Тогда отрезок AP равен 1/6*d, PQ равен 1/3*d, QD равен 2/6*d = 1/3*d. Также отрезок BP равен 1/4*d и PC равен 3/4*d. Теперь применим теорему Менелая к треугольнику ABC, в котором требуется найти значение выражения (AC⋅BD)/(AB⋅CD). Теорема Менелая гласит, что для трех точек P, Q и R, лежащих на одной прямой, и для трех отрезков, соединяющих эти точки, выполняется равенство: AP/AQ * BQ/BR * CR/CP = 1. Применим эту теорему к треугольнику ABC с точками P, Q и R, которые лежат на отрезках BM, MC и CD соответственно: BP/PC * CQ/QM * MD/DB = 1. Заметим, что BP/PC = 1/4 / 3/4 = 1/3 (отношение длин отрезков BP и PC), CQ/QM = 1 (точка Q является серединой отрезка MC), и MD/DB = 1 (точка M является серединой дуги AD окружности Ω). Таким образом, получаем: 1/3 * 1 * 1 = 1. Теперь вернемся к выражению (AC⋅BD)/(AB⋅CD) и заметим, что оно равно: AC⋅BD / AB⋅CD = AC⋅BD / CB⋅AD. Далее, заметим, что треугольники BAC и BCD подобны (по двум сторонам и общему углу). Отсюда следует, что соответствующие стороны этих треугольников пропорциональны. То есть, AC / CB = AB / BD. Подставим это равенство в выражение (AC⋅BD)/(AB⋅CD): (AC⋅BD)/(AB⋅CD) = (AC/CB) * (BD/AD) = (AB/BD) * (BD/AD) = (AB/AD) = sin(α). Таким образом, значение выражения (AC⋅BD)/(AB⋅CD) равно sin(α), где α — это угол ABC. Ответ: sin(α).