Для решения данной задачи можно использовать геометрический подход и свойства вписанного четырехугольника. Из условия задачи мы знаем, что точка M является серединой дуги AD, не содержащей точки B и C. Из этого следует, что AM = MD. Допустим, что точка M лежит на отрезке PQ (M принадлежит отрезку PQ). Тогда получается, что в равенстве AP: PQ: QD = 1: 5: 2, отношение AP/PQ = 1/5. Значит, отношение AM/MQ = 1/5. Так как AM = MD, то MD/MQ = 1/5. Следовательно, MQ = 5MD. Также известно, что BM и CM пересекают отрезок AD в точках P и Q соответственно. Значит, отрезки BM и MC делят отрезок AD на три равные части, и AP = PQ = QD. Пусть AP = PQ = QD = x. Тогда AM = MD = x. Для дальнейшего решения воспользуемся свойствами вписанного четырехугольника. Сумма противоположных углов вписанного четырехугольника равна 180 градусов. Так как середина дуги AD не содержит точек B и C, углы BAD и CAD равны, а углы BCD и CDB также равны. Теперь мы можем рассмотреть треугольники ACB и BCD в зависимости от их высоты, которая проведена из вершины C. В треугольнике ACB мы знаем, что CM – высота (проведенная из C) и AM – медиана. Так как AM = MD, то треугольники ACM и DMС равны по гипотенузе и катету. Значит, углы ACM и DМC тоже равны. Так как BC – общая сторона, углы BАС и СDМ также равны. Если мы посмотрим на треугольник BCD, то увидим, что углы BСD и ВАD равны, так как их дополняют до 180 градусов углы, равные углам BСD и ВАD соответственно. Получается, что треугольники BCD и BAD равны по двум углам, а значит, они равны и по третьему углу. Значит, эти треугольники подобны. Теперь мы можем использовать свойство подобных треугольников: отношение длин сторон подобных треугольников равно отношению длин соответствующих высот. Обозначим длину стороны AD как d. Тогда длины сторон BD, CD и AB также равны d, так как четырехугольник ABCD – вписанный. Высоты треугольников ACB и BCD проведены из одной вершины. Обозначим длину высоты, проведенной из вершины C, в треугольнике ACB как h. Так как треугольник BCD подобен треугольнику BAD, отношение высот в этих треугольниках равно: h/AD = h/d Также из подобия треугольников ACB и BCD следует, что отношение длин сторон AB и CD равно отношению высот этих треугольников: AB/CD = h/h Из этих двух соотношений можно получить: h/AD = AB/CD Теперь мы можем выразить высоту в треугольнике ACB через длины сторон этого треугольника: h = (AB/CD) × AD Теперь мы можем выразить длину стороны AB через длины других сторон и высоту: AB = h × CD/AD Теперь подставим найденное значение высоты h = (AB/CD) × AD в формулу для вычисления стороны AB: AB = ((AB/CD) × AD) × CD/AD AB = AB Из этого получается, что AB = CD. Теперь мы можем выразить длину стороны AC через длины сторон AD и CD, а также высоту h: AC = 2 × CD + h AC = 2 × CD + ((AB/CD) × AD) Теперь мы можем выразить длины сторон AC и BD через длины сторон AD и CD: AC = 2× CD + ((AB/CD) × AD) BD = 2× AD + ((AB/CD) × CD) Теперь осталось только выразить длины сторон AB и CD через длины сторон AD и CD: AB/CD = h/h AB/CD = ((AB/CD) × AD)/((AB/CD) × CD) 1 = AD/CD Значит, AD = CD. Таким образом, все стороны четырехугольника ABCD равны: AD = CD = AB = BD Теперь мы можем вычислить искомое значение выражения AC⋅BD/AB⋅CD: AC⋅BD/AB⋅CD = (2× CD + ((AB/CD) × AD)) × (2× AD + ((AB/CD) × CD))/(AD × CD) Упростим это выражение: AC⋅BD/AB⋅CD = (4× AD × CD + 2× AD × ((AB/CD) × CD) + 2× CD × ((AB/CD) × AD) + ((AB/CD) × AD) × ((AB/CD) × CD))/(AD × CD) AC⋅BD/AB⋅CD = (4× AD × CD + 2× AD × AB + 2× CD × AB + AB²)/(AD × CD) Так как AD = CD = AB = BD, можем сократить эти равные величины в числителе: AC⋅BD/AB⋅CD = (4× AD × AD + 2× AD × AD + 2× AD × AD + AD²)/(AD × AD) AC⋅BD/AB⋅CD = (8× AD² + AD²)/(AD²) AC⋅BD/AB⋅CD = 9 Таким образом, значение выражения AC⋅BD/AB⋅CD равно 9.