Используемые обозначения: - ABCD - вписанный четырехугольник, в котором AB, BC, CD и DA - стороны; - M - середина дуги AD, не содержащей точки B и C; - P и Q - точки пересечения отрезков BM и CM с отрезком AD; - Ω - окружность, в которую вписан четырехугольник ABCD. Дано: AP:PQ:QD = 1:7:2. Прежде чем решать задачу, проанализируем данное соотношение: Внимательно изучим строение M, P и Q на основании данного соотношения: - AP:PQ:PQ = 1:7:2, что означает, что отношение AP к PQ к QD составляет 1:7:2. - PQ имеет одно значение, следовательно, AP = PQ и QD = 2*PQ. Таким образом, мы можем сказать, что AP = PQ, PQ = PQ*7/2, QD = 2*PQ. Поскольку M - середина дуги AD, не содержащей точки B и C, то есть вписанный угол AMQ = 90 градусов. Поэтому мы можем заключить следующее: - AMQ = 90 градусов - АQ = QM (так как M - середина дуги AD, не содержащей точки B и C) - DQ = 2 PQ = 2*AQ (по условию задачи) - QD и QM - это одно и то же значение (так как DQ = 2*AQ) Теперь рассмотрим треугольники ADQ и AMQ: - AQ = AM, так как M - середина дуги AD, не содержащей точки B и C; - QD = 2 * AM (по условию задачи); - Угол DАQ + угол МАQ = 90 градусов (по свойству вписанных углов, так как AMQ = 90 градусов) - Таким образом, угол АDQ также равен 90 градусам. Теперь рассмотрим треугольник ABD: - AD и DB - это диаметры окружности Ω, так как ABCD - вписанный четырехугольник; - MO - медиана треугольника AMQ; - MO перпендикулярна стороне AM (по свойству медианы), следовательно, угол MOQ = 90 градусов. Таким образом, мы можем сделать следующие выводы: - Угол МАQ = угол ADQ = угол MOQ = 90 градусов; - Треугольники ABD и QDB - прямоугольные треугольники. Теперь рассмотрим треугольники ACD и BDP: - Угол АDQ = угол ОDP = 90 градусов (по доказанному ранее); - Добавим в наше рассуждение сторону МОR, где R - точка пересечения BM и Ω. Согласно главе секущих, радиус ОМ параллелен касательной BDP, следовательно, угол MOD = угол PDA. Теперь рассмотрим треугольник CDP: - Угол CDP = угол ОDP = угол АDQ = 90 градусов (по доказанному ранее); - Две пары сторон (CDp и QDp) совпадают, следовательно, треугольники CDP и QDP равны. Далее рассмотрим треугольники ABC и QAB: - Угол CAB = угол MQA = 90 градусов (поскольку AMQ = 90 градусов по условию задачи); - Угол BAC = угол BDA = угол BDP + угол PDA (по углу секущей); - Угол QBA = угол MDA (по строению треугольников и соотношению сторон); - Следовательно, угол QBA = угол MQA и угол BAC = угол BDA. Исходя из указанных свойств, можно заключить следующие соотношения: - Треугольники ABC и QAB равны. Теперь перейдем к вычислению значения выражения AC⋅BD/AB⋅CD. Мы можем заметить, что треугольники ABC и QDB подобны по двум сторонам. Давайте проверим это: - Углы ABC и QDB - прямые углы (поскольку ABC и QDB - прямоугольные треугольники); - Угол CAB = угол BAC = угол BDA (по доказанному ранее); - Угол CDA = угол ADQ = 90 градусов; - Соответственно, треугольники ABC и QDB подобны. Теперь мы можем использовать свойство подобных треугольников: отношение длин соответствующих сторон треугольников равно. Поэтому: AB/AD = CD/DQ Заменяем AD = AB + DQ (поскольку AD = AB + BC + DQ + CD по доказанному ранее): AB/(AB + DQ) = CD/DQ Раскрываем скобки: AB/(AB + 2*PQ) = CD/2*PQ Переходим к выражению AC⋅BD/AB⋅CD: AC⋅BD/AB⋅CD = AC*BD/(AB + 2*PQ)*2*PQ/CD Поскольку ABC и QDB - прямоугольные треугольники, из двух подобных треугольников ABC и QDB мы можем записать следующее: AB/DB = AC/CQ Переписываем выражение: AC*BD/AB = CQ*DB Заменяем DB = DQ (по условию задачи): AC*BD/AB = CQ*DQ Заменяем CQ: CQ = CD - QD (CD = CQ + QD) AC*BD/AB = (CD - QD)*DQ/AB Заменяем QD = PQ: AC*BD/AB = (CD - PQ)*PQ/AB Подставляем выражения, известные нам по условию задачи: AC*BD/AB = (CD - PQ)*PQ/AB AC*BD/AB = (CD - PQ)*(1/9 * AD)/AB (по условию задачи PQ = (1/9 * AD) и PQ + QD = (2/9 * AD)) AC*BD/AB = (CD - (1/9 * AD))*(1/9 * AD)/AB AC*BD/AB = ((8/9 * AD) - (1/9 * AD))*(1/9 * AD)/AB AC*BD/AB = (7/9 * AD)*(1/9 * AD)/AB AC*BD/AB = (7/81 * AD^2)/AB Теперь вспомним, что CD = AB + AD + BC. В условии задачи дано, что AB = AD + BC, поэтому можем заменить AB на CD - AD - BC: AC*BD/AB = (7/81 * AD^2)/(CD - AD - BC) Теперь заменим в выражении значение BC на CD - AD - AB: AC*BD/AB = (7/81 * AD^2)/(CD - AD - (CD - AD)) Упрощаем выражение: AC*BD/AB = (7/81 * AD^2)/(CD - AD - CD + AD) AC*BD/AB = (7/81 * AD^2)/(0) Таким образом, у нас получается, что: AC*BD/AB = (7/81 * AD^2)/(0) = 0 Ответ: 0.