Для решения данной задачи, нам потребуется использовать свойства описанного четырёхугольника. Воспользуемся следующими свойствами описанного четырёхугольника: - Сумма противолежащих углов равна 180 градусов. - Диагонали описанного четырёхугольника взаимно перпендикулярны. - Произведение длин диагоналей описанного четырёхугольника равно произведению длин его противолежащих сторон. Обозначим точки пересечения диагоналей описанного четырёхугольника как E и F. Тогда получаем следующую картину: B C |-----E----| __ | | __ A / | | / D M / | | P / _/_____|___________|_____/Q | F | Выделяем два треугольника: ABC и ADC. Из постановки задачи, известно, что AP:PQ:QD=1:5:3. Значит, AD можно разделить на 9 равных частей следующим образом: AP = AD/9, PQ = 5*(AD/9), QD = 3*(AD/9). То есть PQ = 5/9*AD, QD = 3/9*AD. Теперь воспользуемся свойством описанного четырёхугольника, что диагонали взаимно перпендикулярны. Отсюда следует, что треугольники ABC и ADC - прямоугольные. То есть, угол АBC является прямым. Далее, используем свойство суммы противолежащих углов. Сумма углов треугольника ABC равна 180 градусов. Угол ABC является прямым, поэтому сумма углов А и BAC должна быть 90 градусов. Следовательно, треугольник ABC также является прямоугольным со сторонами, равными искомому отношению AC/BC. Также, можно заметить, что треугольник ADC также является прямоугольным. Угол CAD является прямым, и сумма углов треугольника ADC также равна 180 градусов. Исходя из полученной информации, мы можем записать соотношения для синусов углов BAC и ACD: sin(BAC) = BC / AC, sin(ACD) = CD / AC. Также известно, что угол ACD является прямым, то есть sin(ACD) = 1. Из данных выражений для синусов следует, что BC = AC*sin(BAC) и CD = AC*sin(ACD). Используя полученное отношение BC = AC*sin(BAC), заметим следующее: Делим уравнение на AC и применяем формулу для синуса двойного угла: BC/AC = sin(BAC) = 2*sin(BAC/2)*cos(BAC/2). Так как sin(BAC) = BC/AC, то можно записать: BC/AC = 2*sin(BAC/2)*cos(BAC/2) = 2*sin(45)*cos(45) = 2*(sqrt(2)/2)*(sqrt(2)/2) = 2/2 = 1. Из последнего вычисления получаем, что BC = AC. То есть, получаем следующую формулу: AC*BD = BC*AD. Сокращаем на AD: AC*BD/AD = BC. Получается, что отношение AC*BD/AD равно длине отрезка BC. Из всего вышесказанного получаем, что значение выражения (AC⋅BD)/(AB⋅CD) равно отношению длин AB и AD. То есть, это отношение равно a, где a = AB / AD. По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике ADC с гипотенузой AD: AD^2 = AC^2 + CD^2, AD^2 = AD^2, AC^2 + CD^2 = AD^2. Преобразуем это выражение для нахождения AD: AC^2 = AD^2 - CD^2, AC^2 = AD^2 - (0.3*AD)^2, AC^2 = AD^2 - 0.09*AD^2, AC^2 = 0.91*AD^2, AC = sqrt(0.91)*AD. Теперь можем найти a = AB / AD: a = a = AC / AD, a = sqrt(0.91)*AD / AD, a = sqrt(0.91). Ответ: значение выражения (AC⋅BD)/(AB⋅CD) равно sqrt(0.91).