Обозначим центр окружности Ω как O. Так как точка M — середина дуги AD, то точка O также является серединой этой дуги.
Заметим, что треугольники ΔADC и ΔABC равнобедренные, так как радиусы окружностей, описанных вокруг этих треугольников, одинаковы.
Пусть угол ΔOBC = α. Так как треугольник ΔOBC равнобедренный, то угол ΔODB = α.
Так как ΔODB — равнобедренный треугольник, угол ΔDOB = 2α.
Также заметим, что угол ΔPMB = ΔPMQ = α, так как это соответственные углы при параллельных прямых BM и AD.
Для того чтобы понять, какие треугольники относятся к ΔADC и ΔABC, построим прямую MN, которая параллельна BM и проходит через точку D.
Так как точка M — середина дуги AD, то точка N будет серединой дуги CD, и, следовательно, точка N также будет лежать на окружности Ω.
Таким образом, треугольник ΔADM равен ΔCDN.
Из соответственности углов следует, что ΔDMB ~ ΔBCN.
Так как треугольники ΔDMB и ΔBCN подобные, из соотношения между сторонами треугольников получаем:
AP : PQ : QD = DM : MB : BD = 1 : 2CTGα : 2CTG2α = 1 : 5 : 3,
где CTGα = BM / DM, CTG2α = BC / MB.
Из этого соотношения получим:
DM = (1 / 2) * AP
MB = (2 / 5) * AP
BD = (6 / 5) * AP.
Теперь посмотрим на треугольник ΔADC.
AC / 2R = sinΔACD,
где R — радиус окружности Ω.
Так как угол ΔACD = ΔAOC = 2α, то получаем:
AC / 2R = sin2α.
Аналогично, для треугольника ΔABC:
BD / 2R = sin2α.
Таким образом, получим соотношение между AC и BD:
AC / BD = sin2α / sin2α = 1.
Осталось найти произведение AC * BD.
Мы уже выразили BD через AP, поэтому заменим BD в выражении:
AC * BD = AC * (6 / 5) * AP = 6 / 5 * AC * AP.
Таким образом, AC * BD = 6 / 5 * AC * AP.
Осталось выразить AP через AC. Рассмотрим треугольник ΔACD:
AC / 2R = sin2α.
Так как sin2α = DM / R = (1 / 2) * AP / R, то получаем:
AC = (2 / 5) * AP.
Теперь можем подставить это значение в выражение для AC * BD:
AC * BD = 6 / 5 * AC * AP = 6 / 5 * (2 / 5) * AP * AP = 12 / 25 * AP^2.
Осталось найти AP^2. Мы знаем, что AP : PQ : QD = 1 : 5 : 3,
значит, AP = x, PQ = 5x, QD = 3x,
где х — коэффициент пропорциональности.
Таким образом, AP^2 = (x^2).
Осталось найти значение выражения AC * BD:
AC * BD = 12 / 25 * (x^2).
Итак, значение выражения AC * BD равно 12 / 25 * (x^2). Если задано значение x, мы можем вычислить конкретное значение этого выражения.
