Обозначим центр окружности Ω как O. Так как точка M — середина дуги AD, то точка O также является серединой этой дуги. Заметим, что треугольники ΔADC и ΔABC равнобедренные, так как радиусы окружностей, описанных вокруг этих треугольников, одинаковы. Пусть угол ΔOBC = α. Так как треугольник ΔOBC равнобедренный, то угол ΔODB = α. Так как ΔODB — равнобедренный треугольник, угол ΔDOB = 2α. Также заметим, что угол ΔPMB = ΔPMQ = α, так как это соответственные углы при параллельных прямых BM и AD. Для того чтобы понять, какие треугольники относятся к ΔADC и ΔABC, построим прямую MN, которая параллельна BM и проходит через точку D. Так как точка M — середина дуги AD, то точка N будет серединой дуги CD, и, следовательно, точка N также будет лежать на окружности Ω. Таким образом, треугольник ΔADM равен ΔCDN. Из соответственности углов следует, что ΔDMB ~ ΔBCN. Так как треугольники ΔDMB и ΔBCN подобные, из соотношения между сторонами треугольников получаем: AP : PQ : QD = DM : MB : BD = 1 : 2CTGα : 2CTG2α = 1 : 5 : 3, где CTGα = BM / DM, CTG2α = BC / MB. Из этого соотношения получим: DM = (1 / 2) * AP MB = (2 / 5) * AP BD = (6 / 5) * AP. Теперь посмотрим на треугольник ΔADC. AC / 2R = sinΔACD, где R — радиус окружности Ω. Так как угол ΔACD = ΔAOC = 2α, то получаем: AC / 2R = sin2α. Аналогично, для треугольника ΔABC: BD / 2R = sin2α. Таким образом, получим соотношение между AC и BD: AC / BD = sin2α / sin2α = 1. Осталось найти произведение AC * BD. Мы уже выразили BD через AP, поэтому заменим BD в выражении: AC * BD = AC * (6 / 5) * AP = 6 / 5 * AC * AP. Таким образом, AC * BD = 6 / 5 * AC * AP. Осталось выразить AP через AC. Рассмотрим треугольник ΔACD: AC / 2R = sin2α. Так как sin2α = DM / R = (1 / 2) * AP / R, то получаем: AC = (2 / 5) * AP. Теперь можем подставить это значение в выражение для AC * BD: AC * BD = 6 / 5 * AC * AP = 6 / 5 * (2 / 5) * AP * AP = 12 / 25 * AP^2. Осталось найти AP^2. Мы знаем, что AP : PQ : QD = 1 : 5 : 3, значит, AP = x, PQ = 5x, QD = 3x, где х — коэффициент пропорциональности. Таким образом, AP^2 = (x^2). Осталось найти значение выражения AC * BD: AC * BD = 12 / 25 * (x^2). Итак, значение выражения AC * BD равно 12 / 25 * (x^2). Если задано значение x, мы можем вычислить конкретное значение этого выражения.