Для решения данной задачи вспомним некоторые свойства вписанных четырехугольников и их диагональных пересечений. Свойства вписанного четырехугольника: 1. Противолежащие углы сумма которых равна 180 градусам. 2. Противолежащие стороны равны. Свойства диагональных пересечений: 1. Диагонали пересекаются в точке, которая делит каждую диагональ на две равные части. 2. Произведения длин четырех отрезков, образованных точками пересечения диагоналей, равны. Используя данные свойства, рассмотрим четырехугольник ABCD и его диагональные пересечения. Из условия задачи известно, что точка M - середина дуги AD, не содержащей точки B и C. Значит, угол AMD - прямой. Также известно, что AP : PQ : QD = 1 : 5 : 3. Представим это соотношение в виде AP = x, PQ = 5x и QD = 3x. Рассмотрим треугольник APD. В нем угол AMD = 90 градусов. По свойству диагонального пересечения: BM*MD = AM*MC. У нас есть два треугольника, у которых длины их сторон известны. Можем составить отношения длин сторон. Из треугольника ABM: AB/AM = BM/MB. Из треугольника CDM: DC/DM = CM/MD. Преобразуем эти равенства: AM = AB / (AB/AM) = AB / (BM/MB) = (AB*MB) / BM. DM = CD / (DC/DM) = CD / (CM/MD) = (CD*MD) / CM. Подставим значения AM и DM в равенство AM*MD = BM*MC и получим: (AB*MB)*(CD*MD)/(BM*DC) = BM*MC. Раскроем скобки и упростим выражение: AB*MB*CD*MD/(BM*DC) = BM*MC. Можем выразить BM*MC: BM*MC = (AB*MB*CD*MD)/(BM*DC). Используем свойство вписанного четырехугольника: AB*CD = BC*AD. Подставим полученное равенство в выражение для BM*MC: BM*MC = (BC*AD*MB*MD)/(BM*DC). Разделим обе части равенства на BM*MC: 1 = (BC*AD*MB*MD)/(BM*DC*BM*MC). Сократим подобные выражения в числителе и знаменателе: 1 = (BC*AD*MB*MD)/(BM*DC*BM*MC). 1 = BC*AD*MB*MD/(BM^2 * DC * MC). Перепишем это выражение с тем, что нас интересует - отношение сторон: AC*BD/(AB*CD) = BM^2*DC*MC/(BC*AD*MB*MD). Учитываем, что AB = BC и CD = AD, так как это свойства вписанного четырехугольника: AC*BD/(BC^2) = BM^2*DC*MC/(BC*CD*MB*MD). Разделим обе части равенства на BC: AC*BD = BM^2*DC*MC/(CD*MB*MD). Учитываем, что DC = 2BM и MC = 2MD, так как точка M - середина дуги AD: AC*BD = BM^2*2BM*2MD/(CD*MB*MD). Упростим выражение: AC*BD = 4BM^3/(CD*MB). Вспоминаем, что у нас дано, что AP:PQ:QD = 1:5:3. Это значит, что AP = x, PQ = 5x и QD = 3x. BM = BP + PQ = AP + PQ = x + 5x = 6x. CD = QD + DC = 3x + 2(6x) = 15x. Подставим значения в выражение: AC*BD = 4(6x)^3 / (15x * 6x). Упростим выражение: AC*BD = 24x^3 / (90x * 6x). Сократим числитель и знаменатель на 6 и дальше на 3: AC*BD = 4x^2 / (15 * 2x). Сократим выражение: AC*BD = 2x / 15. Итак, значение выражения AC⋅BD/AB⋅CD равно 2x / 15, где x - коэффициент из соотношения AP:PQ:QD = 1:5:3. Ответ: 2x / 15.