Обозначим центр окружности Ω как O. Так как M — середина меньшей дуги AD, то треугольники AOM и DOM равнобедренные, и их основания AO и DO равны. Поскольку AB и CD — противоположные стороны вписанного четырехугольника ABCD, их смежными сторонами являются два равнобедренных треугольника AOB и DOC. Рассмотрим треугольник AOP. По условию задачи, AP:PQ:QD=1:5:3. Пусть AP=1k, тогда PQ=5k и QD=3k. Заметим, что AQ=AP+PQ=1k+5k=6k и так как AO и DO — радиусы окружности Ω, то AO=DO и каждый равен k. Значит, MP=MQ=2k. Теперь рассмотрим равнобедренные треугольники AOB и DOC. Из равности побочных сторон следует, что угол AOB=углу COD. Также угол AMB=углу CMB=углу AOB (так как угол на дуге равномерный), а значит, углы AMC и BMC равны оппозитным углам AOB и COD. Это означает, что треугольники AMC и BMC подобны треугольникам AOB и COD в обратных пропорциях: AM/AO=BM/BO=(AC+CB)/(BA+AD). Но AM=BM=2k, AO=k и BO=k (так как это радиусы окружности Ω), а также AD=BC (так как ACBD — вписанный четырехугольник), поэтому AM/AO=2, BM/BO=2, AC+CB=AB, и BA+AD=AB, откуда AB/AB=1. Теперь рассмотрим прямоугольные треугольники ACB и ADO, обозначим соответствующих углы через α и β, где α — угол, образованный диагональю AC и меньшей дугой BO, а β — угол, образованный диагональю AD и меньшей дугой AO. Так как AB и CD — противоположные стороны вписанного четырехугольника ABCD, их диагонали пересекаются в точке O, значит, α+β=90°. Рассмотрим треугольник APB. Так как тот же треугольник АОВ прямоугольный, то и треугольник APB прямоугольный, а значит, угол ABP=90°-АРВ=90°-α. Теперь рассмотрим равнобедренные треугольники APB и ADP, которые оказываются подобными в пропорции AP/AD=BP/BD=AB/AD=BP/DA=1/(AQ/QD+1)=1/((6k/3k)+1)=1/(2+1)=1/3. Значит, угол ADP=углу APB=90°-α. Теперь рассмотрим прямоугольные треугольники ADP и ACM. Угол DAC=углу DPC=90°, значит, углы ACD и DPC соседние и поэтому являются дополнительными. Тогда 90°+угол ACM+угол CPD=180°, отсюда целую сумму углов можем записать в виде α+угол CPD=90°. Также угол CPD=90°-адар=90°-ура. Из равенства α+90°-ура=90° найдем уравнение на ура: α+90°-ура=90° α=ура Итак, α=ура — углы, образованные двумя основаниями утолщенных треугольников ACM и CPD, равны, так как угол ADM прямой, значит, треугольник ADM — прямоугольный. Рассуждение точно такое же, только замена α→β и AM→DM. Итого получаем уравнение β=ура. Получается, α+β=β+β=90°. Теперь рассмотрим треугольники AOB и COD. В них отметим углы δ и γ, сумма которых равна 180°. Заметим, что γ=α+β=β+β=90°. Отсюда β=γ/2=90°/2=45°. Теперь рассмотрим треугольник ADM, и нам нужно найти значение отношения AC⋅BD/AB⋅CD. Заметим, что углы в этом треугольнике равны α=γ/2=45°, следовательно, треугольник ADM — прямоугольный и равнобедренный, его основания равны: AC=DM и BD=AM. Запишем их: AC=DM=k, BD=AM=2k. Теперь воспользуемся теоремой Пифагора, из которой следует, что в прямоугольном треугольнике гипотенуза в квадрате равна сумме квадратов катетов. Используем теорему Пифагора в прямоугольном треугольнике ADM, получаем: AD²=AM²+DM². Подставим значения сторон треугольника ADM и рассмотрим данное уравнение: AD²=(2k)²+k²=4k²+k²=5k². Теперь умножим равенство на 1/5: (1/5)AD²=k². Заметим, что AD=AP+PD=AP+AP+CQ=PQ+AP+CQ. Запишем равенство AD=AP+AP+CQ и возведем его в квадрат: AD²=(AP+AP+CQ)²=(2AP+CQ)². Также запишем, что AQ=AP+PQ=AP+5AP=6AP, значит, AP=AQ/6=k/6. Теперь представим, как QP представляется в виде AP+CQ: QP=AP+CQ=AP+AP+5AP=7AP. Теперь подставляем в равенство AD²=(AP+AP+CQ)² полученные значения: (1/5)AD²=k²=(2AP+CQ)²=(2k/6+CQ)². Раскрываем скобки слева и справа: k²=(2k/6+CQ)²=(((7/3)k)²=CQ²=49(CQ/3)². Теперь найдем выражение AC⋅BD/AB⋅CD: AC⋅BD/AB⋅CD=k⋅2k/2k⋅AD=k⋅2k/2k⋅√5k²=2k⋅√5k²/2k⋅√5=2k/2k=1. Таким образом, значение выражения AC⋅BD/AB⋅CD равно 1.