Из условия задачи можно заметить, что треугольники ABP и CDQ подобны друг другу по теореме об определении подобия треугольников. Действительно, угол ABP равен углу CDQ, так как это соответствующие углы при параллельных прямых BM и CQ. Также угол BAP равен углу CDQ, так как это вертикальные углы. Значит, треугольники ABP и CDQ подобны.
По условию, отрезки AP:PQ:QD=1:5:3. Пусть AP=x, тогда PQ=5x и QD=3x. По правилу подобия треугольников, отношение длин соответствующих сторон треугольников ABP и CDQ также равно 1:5:3.
Так как BC — диаметр окружности Ω, то угол BCA прямой. А так как треугольник ABC равносторонний (BC=CA=AB), то угол BAC также равен 60 градусам. Также, так как MC — перпендикуляр к AB (потому что MC — радиус окружности Ω, а радиус перпендикулярен к окружности в точке касания), то угол MCA также равен 60 градусам. Значит, треугольник BCM также равносторонний (BC=BM=CM).
Так как треугольник ABC равносторонний, то все его углы также равны 60 градусам. Значит, треугольник ABC равнобедренный. То есть, AC=BC.
Так как треугольники ABP и CDQ подобны, то их стороны пропорциональны. Значит, можно записать соотношение:
AB:PQ=BC:QD
Учитывая, что AB=AC, PQ=5x и QD=3x, получим:
AC:5x=AC:3x
Упрощая это соотношение, получим:
AC/5x=AC/3x
Убирая равные знаменатели, получаем:
3x=5x
2x=AC
Отсюда следует, что x=AC/2. Также, из равенства треугольников ABP и CDQ можно заключить, что отрезки BM и CM также делят сторону AC в описанном соотношении 1:5:3.
Теперь вернемся к выражению, которое нужно вычислить:
AC⋅BD/AB⋅CD=(2x)⋅(2x)=4x^2
Подставив x=AC/2, получим:
4x^2=4(AC/2)^2=4(AC^2/4)=AC^2
Таким образом, значение выражения AC⋅BD/AB⋅CD равно AC^2. Ответ: AC^2.
