Условие задачи заключается в следующем: У нас есть вписанный четырёхугольник ABCD, где точка M — середина дуги AD окружности Ω, не содержащей точек B и C. Отрезки BM и CM пересекают отрезок AD в точках P и Q соответственно. Известно, что AP:PQ:QD = 1:5:2. Нам нужно вычислить значение выражения AC⋅BD/AB⋅CD. Чтобы решить данную задачу, мы можем использовать свойства вписанных четырехугольников и равнобедренных треугольников. 1. Обозначим углы посередине дуги: ∠AMD = ∠AMB = ∠CMQ = ∠CMQ = α. 2. Так как AM — середина дуги AD, то угол в середине вписанного угла: ∠ABD = α. 3. Равнобедренными треугольниками являются DAP и CBQ, поскольку ∠ADP = ∠AMC = ∠CMB = ∠CBQ и ∠DAP = ∠DBA = ∠CQD. 4. Из условия AP:PQ:QD = 1:5:2 следует, что AP составляет 1/8 дуги AD, PQ — 5/8 дуги AD, и QD — 2/8 дуги AD. Поскольку угол в дуге AD равен 2α, то мы можем записать следующие углы: ∠DAP = ∠DBA = ∠CQD = α, ∠APD = ∠ABD + ∠DAP = α + α = 2α, ∠PQD = ∠ADP = α. 5. Также мы можем заметить, что ∠PBC = ∠DCQ = α, так как AB || CD (это следует из свойства вписанных углов). 6. Поскольку мы знаем, что угол BAD равен 180° - 2α и угол DAP равен α, мы можем выразить угол DBA следующим образом: ∠DBA = 180° - 2α - α = 180°-3α. 7. Теперь мы можем рассмотреть треугольники DBA и DCQ. У них имеются равные углы ∠DBA и ∠DCQ (она они оба равны 180°-3α), и у них равны еще два угла ∠BDA и ∠CQD (они оба равны α). Таким образом, треугольники DBA и DCQ равны по двум углам, поэтому они подобны. 8. Из подобия треугольников DBA и DCQ следует, что отношение сторон AB/CD равно отношению сторон DA/CQ. 9. Из равнобедренности треугольников DAP и CBQ мы можем заключить, что сторона DA равна стороне CQ. 10. Исходя из этого, мы можем утверждать, что отношение сторон AB/CD равно отношению сторон DA/QD. 11. Зная, что отношение сторон DA/QD равно 1/2, мы можем заключить, что отношение сторон AB/CD также равно 1/2. 12. Чтобы найти значение выражения AC⋅BD/AB⋅CD, нам нужно выразить AC и BD через AB и CD. Это можно сделать, рассмотрев треугольники ABC и ABD. 13. В этих треугольниках мы знаем, что ∠DBA = 180°-3α и ∠ABD = α, и они оба являются углами в треугольнике ABC. Поскольку у треугольников ABC и ABD общая сторона AB, мы можем заключить, что у этих треугольников также есть общие стороны AC и BD. 14. Из равнобедренности треугольника ABC мы знаем, что ∠BAC = ∠BCA = (180°-∠DBA)/2 = (180°-3α)/2 и ∠ABD = α. Поэтому у треугольников ABC и ABD два угла совпадают, и они подобны. 15. Из подобия треугольников ABC и ABD мы можем заключить, что отношение сторон AC/AB равно отношению сторон BC/BD. 16. Поскольку отношение сторон AC/AB равно отношению сторон BC/BD, и мы установили ранее, что отношение сторон AB/CD равно 1/2, мы можем найти, что отношение сторон AC/CD также равно 1/2. 17. Поэтому, чтобы вычислить значение выражения AC⋅BD/AB⋅CD, мы можем заменить в этом выражении AB⋅CD на 2AC и BD/AC на 2. 18. Таким образом, получим, AC⋅BD/AB⋅CD = 2AC/2⋅CD = AC/CD. Таким образом, значение выражения AC⋅BD/AB⋅CD равно AC/CD. Ответом на задачу является AC/CD.