Со стандартными отмечаниями на рисунке ABCD - четырёхугольник, M - середина дуги AD без точек B и C , P и Q - точки пересечения отрезков BM и CM с AD. Заметим, что так как точка M - середина дуги AD, то угол MAD = 90 градусов. Обозначим отрезки AM и MD через a и b соответственно. Так как M - середина дуги AD, то MD = a и MA = b. Очевидно, что AM = AD = a + b. Также из треугольника ПМА (PMA) и ПМД (PMD) следуют соотношения: AP/AD = PM/MD и PD/AD = PM/MA. Найдём отношение длин отрезков AP, PQ и QD. Разделим оба соотношения на PM: AP/PM = (AP/AD) * (MD/PM) = (1/6) * (a/(a+b)) = a/(6*(a+b)) PD/PM = (PD/AD) * (MA/PM) = (2/6) * (b/(a+b)) = b/(3*(a+b)) Теперь заметим, что отношение длин отрезков AP, PQ, QD равно отношению их длин перестановкой. То есть AP/PQ = PQ/QD = a/(6*(a+b))/b/(3*(a+b)) = 3a/6b. Таким образом, AP:PQ:QD = a:3a:6b = 1:3:6b/a. Так как AB⋅CD/AC⋅BD = (AB/AC)*(CD/BD), рассмотрим его слагаемые по отдельности. AB/AC = (AB/AM)*(AM/AC) = (sin(ABM)/sin(ACM)) * (AC/AM) = sin(ABM)/sin(ACM), где ABM и ACM - углы треугольника ABC. CD/BD = (CD/DM)*(DM/BD) = (sin(CDM)/sin(BDM))*(BD/DM) = sin(CDM)/sin(BDM), где CDM и BDM - углы треугольника BCD. Так как углы треугольников ABC и BCD противоположны друг другу, то sin(ABM)/sin(ACM) = sin(BDM)/sin(CDM), поэтому AB/AC = CD/BD. Итак, AB⋅CD/AC⋅BD = (AB/AC)*(CD/BD) = 1. Ответ: 1.