Дано: - Четырёхугольник ABCD вписан в окружность Ω. - Точка M - середина дуги AD окружности Ω, не содержащей точек B и C. - Отрезки BM и CM пересекают отрезок AD в точках P и Q соответственно. - Известно, что AP:PQ:QD=1:7:2. Нам нужно вычислить значение выражения AC⋅BD/AB⋅CD. Решение: 1. Дано, что точка M является серединой дуги AD. Поэтому дуги AM и MD равны между собой (AM = MD). 2. Три точки A, M и D лежат на окружности Ω, поэтому у них есть общий радиус. Обозначим его как R. 3. Обозначим угол BMA как α. 4. Так как BM и CM являются хордами, между ними и центром окружности Ω есть связь. Точка O - центр окружности Ω, а OM - его радиус. Тогда угол BOM равен α/2, и углы COQ и COP также равны α/2. 5. Известно, что AP:PQ:QD=1:7:2. Это означает, что отношение дуг AM:PQ:MD равно 1:7:2. 6. Поскольку дуги AM и MD равны между собой (AM = MD), отношение длин отрезков PQ:AM равно 7:1. 7. Так как углы COP и COQ равны α/2, отношение длин отрезков PQ:CO равно 7:1. 8. Рассмотрим треугольник COQ. Он является прямоугольным, так как угол COQ равен 90° - α/2, так как это дополнительный угол к углу COP равному α/2. 9. Также известно, что OM = R, а CO - это R - высота равнобедренного треугольника COQ. 10. Так как треугольник COQ прямоугольный, мы можем использовать теорему Пифагора для вычисления длины CO. CO^2 = COQ^2 + OQ^2 CO^2 = (R - h)^2 + PQ^2 CO^2 = (R - R/8)^2 + (R/2)^2 CO^2 = (R^2 - R/8)^2 + R^2/4 CO^2 = R^4 - 2R^3/8 + R^2/64 + R^2/4 CO^2 = R^4 - 2R^3/8 + R^2/64 + 16R^2/64 CO^2 = R^4 - 2R^3/8 + 17R^2/64 11. Заменим AC⋅BD и AB⋅CD в данном выражении. AC⋅BDAB⋅CD = AC⋅BD/(AB⋅CD) AC⋅BDAB⋅CD = (AB + BC)(CD + AD)/(AB⋅CD) Из выражения AC⋅BDAB⋅CD = AC⋅BD/(AB⋅CD) выражение можно упростить, и затем заменить величины R^4, R^3, R^2 в данном выражении, чтобы получить окончательное значение.