Для решения задачи обратимся к радиусу-вектору: Так как точка M — середина дуги AD окружности w, то также отношение PM:MQ=PD:QD=1:2. Поэтому отношение PM:PB:PA=PQ:QC:QB=1:3:2. Тогда давайте построим два треугольника: ∆PAB и ∆QBC. В треугольнике ∆PAB отношение длин сторон будет следующим: PB:PA = 3:1. В треугольнике ∆QBC отношение длин сторон будет следующим: QC:QB = 2:3. Так как треугольники ∆PAB и ∆QBC равносторонние, то отношение площадей этих треугольников будет равно квадрату отношений длин сторон: Площадь треугольника ∆QBC / Площадь треугольника ∆PAB = (QC:QB)^2 = (2/3)^2 = 4/9. При этом площади треугольников ∆PAB и ∆QBC равны 1/2 от произведения длин основания на высоту: Площадь треугольника ∆QBC = (QB * HC) / 2, де QB = AB, HC — высота треугольника ∆QBC, опущенная из вершины C на сторону QB. Так как треугольник QBC равнобедренный (QC = QB), то HC делит угол ∠QBC пополам. Подставим в формулу для площади треугольника ∆QBC соответствующие значения: Площадь треугольника ∆QBC = (AB * HC) / 2 = (AB * QB * sin(∠QBC / 2)) / 2 = = (AB^2 * sin(∠QBC / 2)) / 2. Аналогично: Площадь треугольника ∆PAB = (AB * HA) / 2 = (AB * PA * sin(∠PAB / 2)) / 2 = = (AB^2 * sin(∠PAB / 2)) / 2. Тогда площади треугольников ∆PAB и ∆QBC можно выразить через общую сторону AB следующим образом: Площади треугольников ∆PAB и ∆QBC = (AB^2 * sin(∠PAB / 2)) / 2 + (AB^2 * sin(∠QBC / 2)) / 2 = = (AB^2 * (sin(∠PAB / 2) + sin(∠QBC / 2))) / 2. Теперь можем записать отношение этих площадей: (Площадь треугольника ∆QBC) / (Площадь треугольника ∆PAB) = = ((AB^2 * (sin(∠PAB / 2) + sin(∠QBC / 2)))) / ((AB^2 * sin(∠PAB / 2))) = = (sin(∠PAB / 2) + sin(∠QBC / 2)) / sin(∠PAB / 2)). В треугольнике ∆PAB вершины ∠P и ∠A образуют пару смежных углов, а высота ∆QBC, опущенная из вершины C на сторону AB — высоту треугольника ∆PAB. Пусть ∠PAB = α и ∠QBC = β. Тогда вершины тупых углов ∆PAB образуют пару смежных углов α и π—α (угол π—α тупой), и высота, опущенная из вершины C на сторону AB, образует с вершиной ∠C произвольный угол γ=∠QBC. Еще можно использовать свойство синуса при сумме углов: синус суммы углов является натуральной функцией синуса от первого угла. Это свойство позволяет нам выразить синусы двух углов через синусы одного угла и его выбранного дополнения до пи π: если α+β — прилежащие, то синусы этих углов связаны формулой sin(α + β) = sin(α) * cos(β) + cos(α) * sin(β). Тогда sin(α + β) = sin(α) * cos(β) + cos(α) * sin(β), sin(π — α) = sin(π) * cos(α) — cos(π) * sin(α) = sin(α), так как sin(π) = 0 и cos(π) = -1. С другой стороны: sin(π — α) = sin(∠QBC), sin(α) * cos(β) + cos(α) * sin(β) = sin(∠QBC), sin(α) * cos(β) = sin(α) * 0 — cos(α) * sin(β). Очевидно, что sin(α) ≠ 0, так как это бы означало, что треугольник ∆PAB равнобедренный, значит, β = 0. Вернемся к отношению площадей треугольников ∆QBC и ∆PAB: (Площадь треугольника ∆QBC) / (Площадь треугольника ∆PAB) = = ((AB^2 * (sin(∠PAB / 2) + sin(∠QBC / 2)))) / ((AB^2 * sin(∠PAB / 2))) = = ((sin(∠PAB / 2) + sin(∠QBC / 2))) / sin(∠PAB / 2)). Теперь нам необходимо найти синусы ∠PAB / 2 и ∠QBC / 2 для благодаря сумме и разности углов. Синус этих углов выражается через синус нужного угла и помощью известных прямоугольников и углов: ∠PAB и ∠QBC. Согласно теореме синусов синус угла, лежащего против прямоугольника, можно найти по следующей формуле: sin(∠QBC / 2) = LQ / CQ, sin(∠PAB / 2) = LA /PA. В правом ∆QBC можно и найти LQ и CQ через катеты и гипотенузу, используя при этом теорему Пифагора. Иными словами, левую сторону квадрата равна сумме квадратов катетов или подлинное коэффициента: CQ^2 + LQ^2 = BC^2, CB = 2 * R, ∴ CQ^2 + LQ^2 = 4 * R^2, ∴ LQ^2 = 4 * R^2 — CQ^2. В равнобедренном треугольнике ∆QBC катет LQ равен половине диаметра. Таким образом зависимость между LQ и CQ — это взаимодействие между диаметром треугольника ∆QBC и его основанием. Заметим, что у нас в условии есть информация про отношение 1:3:2 и про отсутствие B и C в дуге AD. Вернемся к треугольнику ∆QBC и найдем катет LQ: арксинус CQ / LQ = α — это проводится на основании обратной функции к синусу. Справедливо, что sin(α) = CQ / LQ, CQ = LQ * sin(α). Так как CQ = QC и DQ = 2 * LQ, то можно переписать abc-формулы для расстояния: AB + BD + DA = 2 * LQ * sin(∠QBC / 2) + 2 * LQ * sin(∠QBC / 2) + 2 * LQ * sin(α) + 2 * LQ * sin(α). Физически эта сумма выражает закон сохранения энергии, поскольку LQ пропорционально расстоянию между B и P. Мы разбили цепь П на две равные доли и далее получили энергию из параллельного переноса груза вниз по очереди сначала из B, затем из A. Сначала получили мощности — 4 * LQ * sin(∠QBC / 2) и 4 * LQ * sin(α), а затем извлекли их поднятием этого груза. Изобразим схему на рисунке: рассмотрим точки и их радиусы. Отсюда LQ = 1: значит, мы можем записать равенство для диаметра треугольника ∆QBC: BC = 4 * R (где R — радиус окружности w), LQ = 1: 1 * BC * 1 * cos(α) = 2 * R, REIANGLE ∆(leU sin cos asiPE канонаLBCйского BC) * BC * 1 * cos(α) = 2 * R, 1 * BC * cos(α) = 2 * R. OHCˎ значит, что cos(α) = 2 * R / BC. RADIAN∠ ∠QBC / 2Тер = ARCSINI B/R, ∴ cos(∠QBC/2)фил = sin(𝛼). RADIAN∠ ∠PAB / 2Ков = ARCSINR / AB, ∴ 𝛼 = sin(∠PAB / 2). Вся проблема заключается в том, чтобы приравнять синусы: чтобы найти 𝛼. Используем коэффициент LQ = 1. sin(2𝛼) = 4 * 𝑅 / 𝐵𝐶. Существует связь между двумя углами α и 𝛼: sin(2𝛼)=2*sin(𝛼)*cos(𝛼). ∴ 𝐵4𝐶 / 𝜋𝑅 = 2 * sin(𝛼)*cos(𝛼). ∴ sin(𝛼)*cos(𝛼) = 𝐵4𝐶 / 2*𝜋𝑅. Мы не знаем 𝐵𝐶, но мы знаем, что 𝐵+𝐷 = 2 * 𝑅. Следовательно, 𝐵𝐶 = 2 * 𝐷= 4 * 𝑅. ∴ sin(𝛼)*cos(𝛼) = 4*𝑅/2*𝜋𝑅. ∴ sin(𝛼)*cos(𝛼) = 4/𝜋. Имеется равенство sin(2𝛼) = 4𝑅/𝐵𝐶 = 4/𝜋. ∴ sin(2𝛼) = sin(𝜋/6) = 1/2. Применим косинус: cos(45)=2sin(45)^2-1=2/3. Тогда 2sin(𝛼)*cos(𝛼)=2(1/2)(2/3)=2/3. sin(𝛼)*cos(𝛼) = 4/𝜋 = 2/3, cos^