Пусть точка O - центр окружности Ω. Так как точка M - середина дуги AD, то угол BMD равен углу CMD и равен половине угла BAD. Поэтому треугольники OMB и OMC равны по двум углам. Значит, у них совпадают и стороны (так, например, BM = MC). Поскольку медиана делит отрезок на две части, причем отношение длин этих частей равно отношению длин линий, проведенных из вершины треугольника, то: AP : PQ : QD = BM : MQ : QM Заметим, что точка M - середина дуги AD, поэтому угол AMB = AQB, угол MAB = BQA. Обратим внимание, что треугольники AQB и BPA - подобные, потому что у них равны углы AMB и MAB. Значит, их соответствующие стороны тоже пропорциональны. Так как AB:BA = BP:PA = BQ:QA = 7:1, то AP = AD / 8 = 45 ° Отсюда получаем, что AQ = AB - BQ = 45 °. Знаем, что AQB подобен BPA, тогда должны быть пропорциональны стороны этих треугольников, то есть AQ:BP = AB:BA = 7:1, следовательно, BP = AQ / 7 = 45 ° / 7 = 15 °. Теперь рассмотрим треугольник DMC. Угол MAD равен 90 ° (потому что MD - диаметр), и угол MAD и DMC - смежные. Поэтому угол DMC = 360 ° - 90 ° - 45 ° = 225 °. Так как MDC - прямоугольный треугольник, то угол MDC = 180 ° - 225 ° = 135 °. Теперь найдем ME: EC. Рассмотрим треугольник CDA. У него 2 прямых угла, поэтому угол CMD равен 90 °. Угол MED также равен 90 °, потому что MDC - прямой угол. Значит, треугольник MEC - прямой и у него ME:EC = 1:2. Теперь обратимся к прямоугольному треугольнику MEC и вспомним, что BM = MC. Значит, у треугольника MEC углы равны и треугольник равносторонний. Заметим, что ME = EC. Таким образом, AE = EA и AD = AB + BD. Заметим, что, если проведем параллель к BC через точку C, то получим, что AEAB = ADBD. То есть, AC * BD = AE * BA = EA * AD = EC * AC. Пользуясь построением и замечанием о треугольнике MEC убеждаемся, что EC * EC = ME * EA = MQ * AQ, то есть: AC * BD = EC * AC = MQ * AQ. Так как MQ = AP + PQ = AD / 8 + 7 * AD / 8 = 4 * AD / 8 = AD / 2, а AQ = 45 °, то: AC * BD = EC * AC = MQ * AQ = AD / 2 * 45 ° = AD * 45 ° / 2 = 180 °. Ответ: 180 °.