Чтобы решить эту задачу, нам потребуется использовать различные свойства четырёхугольника, окружности и сегментов дуги. Для начала, обратим внимание на то, что середина дуги AD, M, является центром окружности, описанной вокруг четырёхугольника ABCD. Следовательно, AM равно BM и CM. Обозначим эту длину как r. Также, поскольку BM и CM пересекают отрезок AD в точках P и Q соответственно, то эти отрезки медианы треугольника ACD, так как каждый из них делит противоположную сторону пополам. Из условия задачи, известно, что отношение AP:PQ:QD равно 1:3:2. Поскольку BM и CM являются медианами, отношение AP:PQ:QD также будет равно отношению MP:PQ:MQ. Теперь мы можем найти эти отношения. Обозначим MP как x. Тогда PQ будет равно 3x, а MQ будет равно 2x (согласно отношениям 1:3:2). Теперь обратимся к свойству медианы. Оно гласит, что медиана, проведенная к середине стороны треугольника, делит эту сторону на две равные части в отношении 1:1. У нас есть две медианы, BM и CM. Поскольку BM проходит через точку M, которая является серединой дуги AD, этот отрезок делит сторону AD на две равные части в отношении 1:1. Аналогично, CM делит сторону AD на две равные части в отношении 1:1. Поэтому, PD = DQ (то есть отрезок DP равен отрезку PQ, а отрезок DQ равен отрезку QD). Теперь мы можем составить систему уравнений, используя полученную информацию. По определению медианы: BM = MD, CM = AM, DP = DQ. Также, мы можем использовать отношения из условия задачи: DP = x, PQ = 3x, DQ = 2x. Теперь у нас есть две равенства между двумя неизвестными: BM = MD, CM = AM. Из этих двух равенств следует, что: BM = CM. Мы знаем, что BM + CM = BC. А также, поскольку отрезок AD является диаметром окружности, им можно измерить длину окружности. Длина окружности равна 2πr, где r — радиус окружности (то есть длина BM и CM). Таким образом, BM + CM = BC = 2πr. На данном этапе у нас есть система уравнений: BM = CM, BM + CM = 2πr. Решим эту систему методом подстановки. Из первого уравнения найдем значение BM: BM = CM. Подставим это значение во второе уравнение: 2BM = 2πr. Исключим коэффициент 2: BM = πr. Теперь у нас есть значение BM в терминах r. Обратимся снова к отношению AP:PQ:QD. По определению отношения, сумма частей отношения равна целому. В данном случае, сумма AP:PQ:QD равна 1+3+2=6. Теперь мы можем найти длину каждой части отношения: AP = (1/6)AD, PQ = (3/6)AD, QD = (2/6)AD. Мы также можем выразить каждую часть отношения через BM и MD (или CM). Из определения диагоналей треугольника: BM = 2MD (или BM = 2CM в соответствии с условием задачи). Подставим значение BM: 2MD = πr. Теперь у нас есть два уравнения: 2MD = πr, AP = (1/6)AD. Позвольте нам рассмотреть еще одно свойство: если треугольник ABC вписан в окружность, то каждый угол треугольника ABC, который вписывается в дугу, равен углу, обхватываемому этой дугой. Мы знаем, что точка M является серединой дуги AD. Значит, угол AMD равен углу ACD. Так как треугольник AMD является прямоугольным (так как AM является радиусом окружности), то этот угол равен 90 градусам. Теперь у нас есть прямоугольный треугольник AMD и круг ABCD. Мы можем использовать связь между радиусами окружности и сторонами прямоугольного треугольника, чтобы найти другие стороны треугольника. Мы знаем, что радиус окружности BM равен πr, а сторона AM равна MD. Применяя теорему Пифагора к прямоугольному треугольнику AMD, мы получим следующее равенство: (AM)^2 + (MD)^2 = (AD)^2. Подставим известные значения: (πr)^2 + (2MD)^2 = AD^2. Упростим это уравнение: (πr)^2 + (2MD)^2 = AD^2. Теперь нам нужно выразить стороны треугольника через радиус окружности и длину отрезка DP. Мы знаем, что DP = x. Тогда PD = DQ = 2x. Используя это, мы можем представить AD как сумму MD и DQ: AD = MD + DQ = MD + 2DP. Теперь подставим это в уравнение: (πr)^2 + (2MD)^2 = (MD + 2DP)^2. Раскроем скобки справа: (πr)^2 + (2MD)^2 = MD^2 + 4MDP + 4D^2P^2. Теперь упростим это уравнение: (πr)^2 + (2MD)^2 = MD^2 + 4MDP + 4D^2P^2. Раскроем скобки и соберем термины: (πr)^2 + 4(MD)^2 = MD^2 + 4MDP + 4D^2P^2. Упростим еще больше: (πr)^2 + 4(MD)^2 - MD^2 - 4MDP - 4D^2P^2 = 0. Разложим левую часть на несколько составляющих: (πr)^2 + 3(MD)^2 + 4MDP + 4D^2P^2 = 0. Теперь применим соотношение BM = 2MD: (πr)^2 + 3(BM/2)^2 + 4(BM/2)DP + 4D^2P^2. Упростим это выражение: (πr)^2 + (3/4)BM^2 + 2BM(DP/2) + 4D^2P^2. Теперь соберем все буквы вместе: (πr)^2 + (3/4)BM^2 + BM(DP/2) + 4D^2P^2. Обратим внимание, что BM(DP/2) - это произведение двух медиан (полутонких линий треугольника) и является полуплощадью треугольника. Таким образом, эта часть выражения равна площади треугольника. Причем, поскольку AP, PQ и QD делят сторону AD в отношении 1:3:2, то эти отрезки также делят площадь ABCD в том же отношении. Таким образом, площадь треугольника, образованного отрезками BM и DP, равна (1/6) площади ABCD. Подставим эти значения в выражение: (πr)^2 + (3/4)BM^2 + (1/6)(1/2)BC(DP) + 4D^2P^2. Теперь выразим эти величины через радиус окружности и AD: (πr)^2 + (3/4(πr)^2 + (1/6)(1/2)BC(x) + 4(AD/2)^2. Упростим это выражение: (πr)^2 + (3/4(πr)^2 + (1/12)BC(x) + (AD)^2. Теперь вернемся к вопросу задачи: найти значение выражения (AC⋅BD)/(AB⋅CD). Мы видим, что AC ⋅ BD равно (πr)⋅AB, а AB ⋅ CD равно (πr)⋅AD. Подставим эти значения в выражение: (πr)^2 + (3/4(πr)^2 + (1/12)BC(x) + (AD)^2) / ((πr)⋅AD). Упростим это выражение: (πr)^2 + (3/4(πr)^2 + (1/12)BC(x) + (AD)^2) / ((πr)⋅AD). Теперь избавимся от дробного слагаемого, умножив его на единицу. (πr)^2 + (3/4(πr)^2 + (1/12)BC(x) + (AD)^2)/(πr)⋅(AD/AD). Упростим выражение: (πr)^2 + (3/4(πr)^2 + (1/12)BC(x) + (AD)^2). Теперь у нас есть выражение, которое можно вычислить. Надеюсь, это решение помогло вам понять, как решить задачу.