Из условия задачи мы знаем, что точка M - середина дуги AD. Значит, угол AMD - прямой (равен 180 градусов). Пусть угол BCD = x градусов, а угол BAC = y градусов. Также обозначим угол ACD как z градусов. Окружность Ω также имеет центр O. Так как M - середина дуги AD, то угол MAD также равен x градусов. По свойству центральных углов, угол BMQ = x градусов. Обозначим углы BMP и CMP как α и β соответственно. Так как угол APQ = 180 градусов (прямой угол), то угол BMP + угол BMQ = 180 градусов. Значит, α + x = 180. Также у нас есть соотношение AP:PQ:QD = 1:7:2. Пусть AP = a, PQ = 7a и QD = 2a. Из соотношения AP:PQ = 1:7 следует, что угол BPM = α = α. Так как AM диаметр окружности Ω, угол AMP - прямой. Значит, здесь угол AMP равен 90. Также угол BAC и угол QCM - смежные углы, значит, они равны. Значит, угол QCM = y градусов. Теперь рассмотрим треугольник BMP. У него угол BMP = α, угол BPM = α и угол PBM = (180 - α - α) = (180 - 2α). Аналогично, рассмотрим треугольник CMQ. У него угол CQM = y, угол QCM = y и угол QMC = (180 - y - y) = (180 - 2y). Так как BM и CM пересекаются на AD в точках P и Q соответственно, то угол PBC и угол QCB - вписанные углы, значит, они равны. Также угол PBC и угол BCQ - вертикальные углы, значит, они равны. Сначала рассмотрим угол PBC. В треугольнике ABP угол A = α (смежные углы), угол B = z (описанный угол), и угол APB = (180 - α - z) (сумма углов треугольника равна 180). В треугольнике PBC угол P = (180 - α - z) (вертикальные углы), угол B = x (дано), и угол BPC = (180 - (180 - α - z) - x) = (α + z - x). Теперь рассмотрим угол BCQ. В треугольнике ACQ угол A = y (смежные углы), угол C = z (описанный угол), и угол ACQ = (180 - y - z) (сумма углов треугольника равна 180). В треугольнике QCB угол C = (180 - y - z) (вертикальные углы), угол B = x (дано), и угол BQC = (180 - (180 - y - z) - x) = (y + z - x). Так как угол PBC = угол BCQ, значит, α + z - x = y + z - x. Сокращая на x, мы получаем, что α = y. Но мы также знаем, что угол BMP = α, и угол P = y. Таким образом, угол BMP = угол P. Если у двух углов равны между собой, и у них есть общая сторона, то эти углы равны и между собой, и рассматривают одну и ту же дугу. Так как угол BMP и угол P являются смежными и имеют общую сторону BM, то они равны и равны углу BPM, то есть β = α. Таким образом, α = y и β = α. Мы получили, что α = β = y. Рассмотрим треугольник QMC. У него угол QMC = (180 - 2y), угол C = z (дано) и угол M = 90 (сумма углов треугольника равна 180). Так как сумма углов треугольника равна 180, то: (180 - 2y) + z + 90 = 180. Упрощая, мы получаем: 270 - 2y + z = 180. 2y - z = 90. Но мы также знаем, что α = y и β = α. Подставляя α вместо y, мы получаем: 2α - z = 90. Из этого уравнения можно выразить z через α: z = 2α - 90. Таким образом, мы получили связь между z и α. Итак, мы знаем, что угол BCD = x. Рассмотрим треугольник CBD. У него угол C = z (из предыдущего рассуждения), угол B = 180 - x (общая с соседним углом на круге) и угол D = z (описанный угол). Так как сумма углов треугольника равна 180, то: 180 - x + z + z = 180. 2z - x = 0. 2z = x. Но мы также знаем, что z = 2α - 90. Подставляя это значение, мы получаем: 2(2α - 90) = x. Упрощая, мы получаем: 4α - 180 = x. Таким образом, мы получили связь между x и α. Итак, мы имеем две связи: 1) α = y. 2) x = 4α - 180. Теперь рассмотрим треугольник ABP. У него угол A = α (из первого свойства), угол B = z (из предыдущего рассуждения) и угол P = (180 - α - z) (сумма углов треугольника равна 180). Так как сумма углов треугольника равна 180, то: α + z + (180 - α - z) = 180. Упрощая, мы получаем: 180 = 180. Это равенство всегда верно и не дает нам новых связей между углами. Таким образом, мы имеем две связи: 1) α = y. 2) x = 4α - 180. Теперь мы можем найти значения углов BCD и BAC, подставив вторую связь в первое уравнение: x = 4α - 180. x = 4y - 180. Таким образом, угол BCD = 4y - 180. А угол BAC = α = y. Окончательный ответ: Угол BCD = 4y - 180 градусов. Угол BAC = y градусов.