Для решения данной задачи воспользуемся теоремой о перпендикулярах в окружности.
Так как точка M - середина дуги AD, окружность Ω, то дуги MP и MQ равны, а значит, угол BMP равен углу CMQ.
Известно, что AP:PQ:QD=1:5:2. Пусть AP=x, тогда PQ=5x и QD=2x.
Рассмотрим треугольники BMP и QMC.
Угол BMP равен углу CMQ. Противоположные углы в точке M, находящейся на окружности Ω, равны.
Следовательно, угол MBC равен углу BMD.
Так как BC - хорда, а BM - радиус, то угол BMC равен двойному дуге BC, равной углу BAC.
Таким образом, получаем следующее:
Угол QMC = углу BMP = углу BAC = угол MAC.
Значит, треугольник QMC подобен треугольнику MAC по теореме об угле, касательной и хорде.
Соответственно, MQ:AC=MC:MA=QC:CA.
Так как MQ:AC=MC:MA, получаем MQ/AC=MC/MA.
Учитывая, что AC и MA - это радиусы окружности Ω, то MQ=MC.
Таким образом, можно заменить MQ в равенстве MQ/AC=MC/MA на MC.
Итак, MQ:AC=MC:MA, а MQ=MC.
Следовательно, MC:AC=MC:MA и доли MC и AC равны, то есть MC=AC.
Таким образом, треугольник AMC является равнобедренным треугольником (AC=MC).
Обозначим AC=MC=x.
Теперь рассмотрим отношения отрезков AP:PQ:QD=1:5:2.
Заменяем AP на x и получаем x:5x:2x.
Сумма этих отношений равна 1+5+2=8, значит каждое отношение равно 1/8.
Так как AP=x, то AQ=6x и AD=8x.
Также, так как AC=MC=x, то BM=MC=AC=x и BD=DM=CD=BD-x=AC-x=x-x=0.
Значит, четырёхугольник ABCD является пятиугольником с одной из сторон, равной 0. Такой пятиугольник не существует.
Итак, пятиугольника ABCD с данными условиями не существует.
Значит, данное выражение AC⋅BDAB⋅CD не имеет значения, так как ABCD не существует.
