Для решения этой задачи воспользуемся свойствами вписанного четырёхугольника. 1. Из свойств вписанных углов следует, что угол OMB (где O - центр окружности Ω) равен углу OMC. 2. Также, углы OMB и OMC равны половине угловых мер дуги AD без точек B и C соответственно. 3. Поэтому, угловая мера дуги AD равна двум углам OMB и OMC, то есть 2(OMB) = 2(OMC). 4. Так как углы OMB и OMC равны, они равны половине угла ADM. То есть углы OMB и OMC - это половины угловых мер дуг AD. 5. Раз угол OMB равен половине угловой меры дуги AD, то угол OMB равен углу AMP (MP - серединный перпендикуляр к AD). 6. Из свойств радиуса, перпендикуляра и касательной следует, что углы AMP и MPA - прямые (поскольку MU является перпендикуляром к AM). Таким образом, угол MPA также является 45-градусным углом. Так как MB и MC пересекают AD, то из угла MPA получаем, что угол MPC - тоже 45-градусный. Теперь, обратимся к соотношению AP : PQ : QD = 1 : 5 : 2. Заметим, что AP : PQ = 1 : 5, а значит AP/PQ = 1/5. Но угол APC равен 45 градусам, а значит угол APQ (дополнительный по отношению к APC) также равен 45 градусам. То есть, угол MPQ - это 45-градусный угол. Известно, что угол MPC тоже 45 градусов, поэтому треугольники MPQ и MPC равнобедренные. В итоге, получаем MP = MQ = MC. Теперь применим теорему Пифагора в треугольнике MBC: (BC)^2 = (BM)^2 + (MC)^2. Учитывая, что BM = CM, получаем: (BC)^2 = 2(BM)^2. Заметим, что AC - это диаметр окружности Ω, поэтому углы ABC и ADC равны прямым углам (так как каждый из них равен половине угловой меры дуги соответственно). Из прямых углов следует, что ABCD - это прямоугольник, а значит диагонали этого прямоугольника равны. Из равенства диагоналей следует, что AB = CD. Также, из прямоугольности ABCD следует, что ABC = DAB = ADC = BCD = 90 градусов. Обозначим AB = CD = x, тогда BC = AD = x*sqrt(2) (по теореме Пифагора). Теперь рассмотрим треугольник ABC. Этот треугольник прямоугольный, поэтому можем применить теорему Пифагора: (AC)^2 = (AB)^2 + (BC)^2. Подставим известные значения: (AC)^2 = x^2 + (x*sqrt(2))^2 = x^2 + 2x^2 = 3x^2. Теперь рассмотрим произведение AC*BD/AB*CD. AC*BD = 3x^2* x*sqrt(2) = 3x^3*sqrt(2). AB*CD = x*x = x^2. То есть, AC*BD/AB*CD = (3x^3*sqrt(2))/x^2 = 3sqrt(2)x. Таким образом, значение данного выражения равно 3sqrt(2)x. Но мы помним, что угол MPA равен 45 градусам, что означает, что AC = sqrt(2)x. Тогда, AC*BD/AB*CD = 3sqrt(2)x = 3AC. Ответ: значение выражения AC*BD/AB*CD равно 3AC.