Обозначим через O центр окружности Ω, а через R ее радиус. Так как точка M — середина дуги AD, то MC = MD = R. Также заметим, что треугольник BPC — подобен треугольнику QCP, так как у них соответственные углы наполовину меньше дуги AD. Тогда BM : MQ = CP : PQ = 2 : 3. Рассмотрим треугольники ABC и CDA. Они подобны, так как у них соответственные углы равны (они противоположные), а также углы BAC и ADC равны, так как это соответственные хорды, опирающиеся на одну дугу AD. Так как треугольники ABC и CDA подобны, то AC/CD = AB/BD. Или AC⋅BD = AB⋅CD. Теперь рассмотрим треугольники MPC и DPQ. Они подобны, так как у них углы M и Q равны, а углы P у обоих треугольников равны, так как это соответственные хорды, опирающиеся на одну дугу MDC. Тогда MC/DP = MP/PQ. Мы знаем, что MC = R, MP = 2/5 * BM = 2/5 * 2/5 * MD = 4/25 * R, а PQ = 3/5 * MQ = 3/5 * 3/5 * MD = 9/25 * R. Подставим в формулу AC/CD = AB/BD значения MC/DP и MP/PQ: R/DP = (4/25 * R) / (9/25 * R). Упростим и получим DP = 9/4. Теперь вернемся к нашему выражению AC⋅BD / AB⋅CD. Воспользуемся подобными треугольниками ABC и CDA: AC⋅BD / AB⋅CD = (CD + DP) / (BD + DP). Подставим значения для DP и упростим выражение: (CD + 9/4) / (BD + 9/4) = (CD + 9/4) / (CD + 9/4 + CD) = (CD + 9/4) / (2CD + 9/4) = (4CD + 9) / (8CD + 9). Таким образом, значение выражения AC⋅BD / AB⋅CD равно (4CD + 9) / (8CD + 9).