Дан четырехугольник ABCD, вписанный в окружность Ω. Точка M находится на окружности Ω и является серединой дуги AD, не содержащей точки B и C. Отрезки BM и CM пересекают отрезок AD в точках P и Q соответственно. Известно, что отношения длин отрезков AP, PQ и QD равны 1:3:2.
Наша задача - вычислить значение выражения AC⋅BD/AB⋅CD.
Чтобы решить эту задачу, воспользуемся свойствами вписанных углов и равенством отношений длин между секущими и хордами.
Рассмотрим углы в четырехугольнике ABCD. Угол ABC и угол ADC будут соответственно углами, опирающимися на дуги AD и AB.
Также у нас есть угол AMC, опирающийся на дуги AD.
Так как точка M является серединой дуги AD и не содержит точки B и C, угол AMC будет прямым углом.
Теперь рассмотрим угол MPQ, который также опирается на дуги AD. Так как угол AMC является прямым углом, угол MPQ также будет прямым углом.
Заметим, что угол APQ и угол ADQ также опираются на дуги AD. Так как угол MPQ прямой, согласно теореме о вписанных углах, угол APQ и угол ADQ также являются прямыми углами.
Таким образом, у нас есть четыре прямых угла в четырехугольнике APQD: угол MPQ, угол APQ, угол AQD и угол ADQ.
Заметим, что угол AQD и угол ADQ являются смежными и образуют линию. Поэтому эти углы в сумме дают 180 градусов.
Аналогично, угол MPQ и угол APQ также являются смежными и образуют линию. Поэтому эти углы в сумме дают также 180 градусов.
Таким образом, сумма всех углов в четырехугольнике APQD составляет 360 градусов, что говорит о том, что APQD - вписанный четырехугольник.
Обычно для задачи такого рода используют формулу считающуюся теоремой Птулева:
AC * BD = AB * CD + AD * BC
Заметим, что отрезок BM - секущая, и пересекает отрезок AD в точке P.
Тогда согласно теореме Птулева для четырехугольника APQD:
AP * QD = AD * PQ + AQ * DP
Так как AP:PQ:QD = 1:3:2, то можно представить эти длины в виде:
AP = x
PQ = 3x
QD = 2x
Тогда получим:
x * 2x = AD * 3x + AQ * x
2x^2 = 3x * AD + AQ * x
2x^2 = 3x * AD + AQ * x
2x = 3 * AD + AQ
Так как точка M является серединой дуги AD, то AM = DM = AD / 2
Заметим, что AM и AD являются радиусами окружности Ω. Следовательно, AM = AD / 2 = AQ
Тогда 2x = 3 * AD + AQ = 3 * AD + AD / 2 = 7 * AD / 2
x = 7 * AD / 4
Теперь заметим, что отрезок CM - также секущая и пересекает отрезок AD в точке Q.
Проделаем аналогичные шаги:
QC = x
CM = 2x
MD = 3x
Тогда получим:
x * 3x = 2x * AD + AQ * 3x
3x^2 = 2xAD + 3 * AQ * x
3x^2 = 2xAD + 3 = 2xAD + AQ
Так как AQ = AD / 2, то 3x^2 = 2xAD + AD/2
3x^2 = 4xAD / 2 + AD / 2 = 5 * AD / 2
x^2 = 5 * AD / 6
x = sqrt(5 * AD / 6)
Таким образом, мы выразили отношение длин отрезка AP к длине отрезка AD через AD.
Теперь выразим отношение длин отрезка AC к длине отрезка AD.
Находим соотношение по теореме Пифагора в ΔADC:
AC^2 = AD^2 + CD^2
Теперь подставим полученные значения:
(7 * AD / 4)^2 = AD^2 + CD^2
49 * AD^2 / 16 = AD^2 + CD^2
49 * AD^2 = 16 * AD^2 + 16 * CD^2
33 * AD^2 = 16 * CD^2
CD^2 = 33 * AD^2 / 16
CD = sqrt(33 * AD^2 / 16) = AD/4 * sqrt(33)
Теперь выразим отношение длин BD к длине AB через AD.
Найдем соотношение по теореме Пифагора в ΔABD:
BD^2 = AD^2 + AB^2
Подставим полученные значения:
BD^2 = AD^2 + (AD/4)^2 = 17 * AD^2 / 16
BD = sqrt(17 * AD^2 / 16) = AD/4 * sqrt(17)
Теперь подставим полученные значения выражений AC, BD, AB и CD в выражение AC⋅BD/AB⋅CD:
(AD * sqrt(33)) * (AD/4 * sqrt(17)) / (AD/4 * sqrt(33)) * (AD * sqrt(17))
AD * AD * sqrt(33) * sqrt(17) / (AD * AD * sqrt(33) * sqrt(17))
AD * AD * sqrt(33) * sqrt(17) / (AD * AD * sqrt(33) * sqrt(17))
Видим, что AD^2 и sqrt(33) * sqrt(17) сократятся:
1
Таким образом, значение выражения AC⋅BD/AB⋅CD равно 1.
