Чтобы решить данную задачу, воспользуемся стандартным свойством вписанного угла.
Введем обозначения:
- Пусть O - центр окружности Ω.
- Пусть O_1 - центр окружности, описанной около треугольника ABC.
- Пусть O_2 - центр окружности, описанной около треугольника ABD.
Так как четырёхугольник ABCD вписан в окружность Ω, то сумма противолежащих углов равна 180°:
∠BAD + ∠BCD = 180°
Так как угол вписанный, то ∠BCD = ½∠BOD.
Поскольку треугольник BOD правильный, то ∠BOD = 120°
Отсюда следует, что ∠BAD = 60°.
Также, так как точка M - середина дуги AD окружности Ω, то ∠MAD = ½∠AOD.
Поскольку треугольник AOD правильный, то ∠AOD = 60°.
Таким образом, ∠MAD = 30°.
В треугольнике BMP, ∠BMP = 180° - ∠MAD = 150° (сумма углов треугольника равна 180°).
Так как треугольник BMP является прямоугольным и равнобедренным, в котором ∠BPM = ∠BMQ, то ∠BPM = 180° - 2 * ∠BMQ = 180° - ∠MPQ.
То есть, ∠MPQ = 180° - ∠BPM = 30°.
Из данного условия задачи, AP:PQ:QD=1:5:3, можем вывести следующие отношения:
AP / PQ = 1 / 5 (1)
PQ / QD = 5 / 3 (2)
Так как ∠MPQ = ∠MAD = 30°, то треугольники MPQ и MAD подобны.
Следовательно, отношение длин соответствующих сторон треугольников будет одинаковым:
MQ / AD = PQ / AD = PQ + AQ / AD = PQ + AP + PD / AD = 1 / 5 + 1 + 3 = 19 / 5 (3)
Из треугольника BOP, ∠BOP = 180° - ∠MBP = 180° - 150° = 30°.
Так как PR и MS - биссектрисы угла BOP, то треугольники PMR и PMS подобны.
Следовательно, отношение длин соответствующих сторон треугольников будет одинаковым:
PM / PR = PS / PM
PM^2 = PR * PS (4)
Сравним треугольники PMQ и PBR.
Они подобны по двум углам, так как ∠PMQ = ∠MPQ = 30° и ∠MBP = ∠MPB.
Следовательно, отношение длин соответствующих сторон треугольников будет одинаковым:
PM / PB = PQ / PQ
PM = PB (5)
Также, сравним треугольники QMD и QPC.
Они подобны по двум углам, так как ∠QMD = ∠MPQ = 30° и ∠PQC = ∠QCP.
Следовательно, отношение длин соответствующих сторон треугольников будет одинаковым:
QD / QC = QM / QP
QD=/ QC = QM/QP
QD/QC = QM / QP
Следовательно, также можно записать: QD / PQ = QC / QM
Так как ∠MBP = ∠MPB, то треугольники BMP и BPC подобны по двум углам.
Следовательно, отношение длин соответствующих сторон треугольников будет одинаковым:
MB / BC = BP / MP = 1 / cos 30° = 2 / √3
Так как PM = MB, тоMB = BP / √3.
Воспользуемся формулой для длины биссектрисы в треугольнике:
QC = BD * AM / (AB + AC).
Так как треугольники BQP и CAM подобны, можем записать соотношение длин сторон:
BQ / AC = QP / MP (т.к. QP и MP это биссектрисы угла BQC)
Следовательно, BQ * MP = AC * QP (6)
Также, сравним треугольники PRM и ACQ:
Они подобны по двум углам, так как ∠PRM = ∠ACP и ∠MPR = ∠CAQ.
Следовательно, отношение длин соответствующих сторон треугольников будет одинаковым:
PR / AC = MP / AQ
Так как PR = MP, то AQ = AC (7)
Теперь можем вычислить значение выражения AC⋅BD/AB⋅CD.
Учитывая полученные равенства и отношения, получим:
AC⋅BD/AB⋅CD = AC⋅BD/AB⋅CD = QC⋅BC⋅BD/AB⋅CD = (BD * AM / (AB + AC))⋅BC⋅BD/AB⋅CD
Подставим значение QC = BD * AM / (AB + AC):
= (BD * AM / (AB + AC))⋅BC⋅BD/AB⋅CD
Выразим AM через AC и AQ (согласно (7)):
= (BD / (AB + AC))⋅BC⋅BD/AB⋅CD
Перепишем в другой форме:
= BC⋅BD^2 / (AB + AC)⋅ABCD
Также учтем (5), где MB = BP / √3:
= BC⋅(BP/√3)^2 / (AB + AC)⋅AB⋅CD
Теперь, учтем, что треугольники BMP и BPC подобны, а MB = BP / √3:
= BC⋅(MB * √3)^2 / (AB + AC)⋅AB⋅CD
= BC⋅(BP)^2 * 3 / (AB + AC)⋅AB⋅CD
Осталось вспомнить (6), BQ * MP = AC * QP:
= BC⋅(BQ * MP)^2 * 3 / (AB + AC)⋅AB⋅CD
= BC⋅(AC * QP)^2 * 3 / (AB + AC)⋅AB⋅CD
= BC⋅AC^2 * (PQ^2) * 3 / (AB + AC)⋅AB⋅CD
Согласно (3) и (7) из условия задачи, заменим PQ на 19/5 * AQ:
= BC⋅AC^2 * ((19/5) * AQ)^2 * 3 / (AB + AC)⋅AB⋅CD
= BC⋅AC^2 * (19/5)^2 * AQ^2 * 3 / (AB + AC)⋅AB⋅CD
= BC⋅AC^2 * 19^2 * (3/5) * AQ^2 / (AB + AC)⋅AB⋅CD
Так как ∠BAD = 60°, то ∠BAD / 180° = 1/3.
По следствию к теореме Синусов, BC = 2 * AC * sin (∠BAD / 2) = 2 * AC * sin 30° = AC.
= AC^3 * 19^2 * (3/5) * AQ^2 / (AB + AC)⋅AB⋅CD
Также заметим, что ∠BCD = 120°, то ∠BCD / 180° = 2/3.
Таким образом:
= AC^3 * 19^2 * (3/5) * AQ^2 / (AB + AC) * AB * CD
= AC^2 * 19^2 * (3/5) * AQ^2 / (AB + AC) * AB * CD
= AC^2 * 19^2 * 3 * AQ^2 / (5 * (AB + AC)) * AB * CD
Таким образом, мы получили значение выражения AC⋅BD/AB⋅CD:
AC^2 * 19^2 * 3 * AQ^2 / (5 * (AB + AC)) * AB * CD.
