Чтобы решить данную задачу, воспользуемся стандартным свойством вписанного угла. Введем обозначения: - Пусть O - центр окружности Ω. - Пусть O_1 - центр окружности, описанной около треугольника ABC. - Пусть O_2 - центр окружности, описанной около треугольника ABD. Так как четырёхугольник ABCD вписан в окружность Ω, то сумма противолежащих углов равна 180°: ∠BAD + ∠BCD = 180° Так как угол вписанный, то ∠BCD = ½∠BOD. Поскольку треугольник BOD правильный, то ∠BOD = 120° Отсюда следует, что ∠BAD = 60°. Также, так как точка M - середина дуги AD окружности Ω, то ∠MAD = ½∠AOD. Поскольку треугольник AOD правильный, то ∠AOD = 60°. Таким образом, ∠MAD = 30°. В треугольнике BMP, ∠BMP = 180° - ∠MAD = 150° (сумма углов треугольника равна 180°). Так как треугольник BMP является прямоугольным и равнобедренным, в котором ∠BPM = ∠BMQ, то ∠BPM = 180° - 2 * ∠BMQ = 180° - ∠MPQ. То есть, ∠MPQ = 180° - ∠BPM = 30°. Из данного условия задачи, AP:PQ:QD=1:5:3, можем вывести следующие отношения: AP / PQ = 1 / 5 (1) PQ / QD = 5 / 3 (2) Так как ∠MPQ = ∠MAD = 30°, то треугольники MPQ и MAD подобны. Следовательно, отношение длин соответствующих сторон треугольников будет одинаковым: MQ / AD = PQ / AD = PQ + AQ / AD = PQ + AP + PD / AD = 1 / 5 + 1 + 3 = 19 / 5 (3) Из треугольника BOP, ∠BOP = 180° - ∠MBP = 180° - 150° = 30°. Так как PR и MS - биссектрисы угла BOP, то треугольники PMR и PMS подобны. Следовательно, отношение длин соответствующих сторон треугольников будет одинаковым: PM / PR = PS / PM PM^2 = PR * PS (4) Сравним треугольники PMQ и PBR. Они подобны по двум углам, так как ∠PMQ = ∠MPQ = 30° и ∠MBP = ∠MPB. Следовательно, отношение длин соответствующих сторон треугольников будет одинаковым: PM / PB = PQ / PQ PM = PB (5) Также, сравним треугольники QMD и QPC. Они подобны по двум углам, так как ∠QMD = ∠MPQ = 30° и ∠PQC = ∠QCP. Следовательно, отношение длин соответствующих сторон треугольников будет одинаковым: QD / QC = QM / QP QD=/ QC = QM/QP QD/QC = QM / QP Следовательно, также можно записать: QD / PQ = QC / QM Так как ∠MBP = ∠MPB, то треугольники BMP и BPC подобны по двум углам. Следовательно, отношение длин соответствующих сторон треугольников будет одинаковым: MB / BC = BP / MP = 1 / cos 30° = 2 / √3 Так как PM = MB, тоMB = BP / √3. Воспользуемся формулой для длины биссектрисы в треугольнике: QC = BD * AM / (AB + AC). Так как треугольники BQP и CAM подобны, можем записать соотношение длин сторон: BQ / AC = QP / MP (т.к. QP и MP это биссектрисы угла BQC) Следовательно, BQ * MP = AC * QP (6) Также, сравним треугольники PRM и ACQ: Они подобны по двум углам, так как ∠PRM = ∠ACP и ∠MPR = ∠CAQ. Следовательно, отношение длин соответствующих сторон треугольников будет одинаковым: PR / AC = MP / AQ Так как PR = MP, то AQ = AC (7) Теперь можем вычислить значение выражения AC⋅BD/AB⋅CD. Учитывая полученные равенства и отношения, получим: AC⋅BD/AB⋅CD = AC⋅BD/AB⋅CD = QC⋅BC⋅BD/AB⋅CD = (BD * AM / (AB + AC))⋅BC⋅BD/AB⋅CD Подставим значение QC = BD * AM / (AB + AC): = (BD * AM / (AB + AC))⋅BC⋅BD/AB⋅CD Выразим AM через AC и AQ (согласно (7)): = (BD / (AB + AC))⋅BC⋅BD/AB⋅CD Перепишем в другой форме: = BC⋅BD^2 / (AB + AC)⋅ABCD Также учтем (5), где MB = BP / √3: = BC⋅(BP/√3)^2 / (AB + AC)⋅AB⋅CD Теперь, учтем, что треугольники BMP и BPC подобны, а MB = BP / √3: = BC⋅(MB * √3)^2 / (AB + AC)⋅AB⋅CD = BC⋅(BP)^2 * 3 / (AB + AC)⋅AB⋅CD Осталось вспомнить (6), BQ * MP = AC * QP: = BC⋅(BQ * MP)^2 * 3 / (AB + AC)⋅AB⋅CD = BC⋅(AC * QP)^2 * 3 / (AB + AC)⋅AB⋅CD = BC⋅AC^2 * (PQ^2) * 3 / (AB + AC)⋅AB⋅CD Согласно (3) и (7) из условия задачи, заменим PQ на 19/5 * AQ: = BC⋅AC^2 * ((19/5) * AQ)^2 * 3 / (AB + AC)⋅AB⋅CD = BC⋅AC^2 * (19/5)^2 * AQ^2 * 3 / (AB + AC)⋅AB⋅CD = BC⋅AC^2 * 19^2 * (3/5) * AQ^2 / (AB + AC)⋅AB⋅CD Так как ∠BAD = 60°, то ∠BAD / 180° = 1/3. По следствию к теореме Синусов, BC = 2 * AC * sin (∠BAD / 2) = 2 * AC * sin 30° = AC. = AC^3 * 19^2 * (3/5) * AQ^2 / (AB + AC)⋅AB⋅CD Также заметим, что ∠BCD = 120°, то ∠BCD / 180° = 2/3. Таким образом: = AC^3 * 19^2 * (3/5) * AQ^2 / (AB + AC) * AB * CD = AC^2 * 19^2 * (3/5) * AQ^2 / (AB + AC) * AB * CD = AC^2 * 19^2 * 3 * AQ^2 / (5 * (AB + AC)) * AB * CD Таким образом, мы получили значение выражения AC⋅BD/AB⋅CD: AC^2 * 19^2 * 3 * AQ^2 / (5 * (AB + AC)) * AB * CD.