Обозначим радиус окружности Ω как R. Так как M - середина дуги AD, то AM = MD = R. Заметим, что треугольник AMC и треугольник BMD являются равнобедренными. Действительно, AM = R, BM = R и ∠AMB = ∠AMD, так как это смежные углы при хордах AD и BM и дуга MD равна дуге AM.
Теперь рассмотрим треугольники BMD и PQD. Заметим, что BC является срединной линией треугольника AMC, поэтому BC || PQ и BMC = PMQ. Рассмотрим треугольники BMD и PQD. Отношение длин отрезков в точке P и Q равно ∣BP∣ ∣PQ∣ = 1 3 ∣QD .
Пусть AP = x. Тогда DP = 2x. По теореме Фалеса получим
BP = 13x , PQ = 33x , QD = 2⋅2x=4x.
Теперь рассмотрим треугольники ABC и QDC. Для начала заметим, что ∠ACB = ∠ADC, так как это смежные углы при хордах BD и AC и дуге AM. Также заметим, что AC = 2R, так как AC - это диаметр окружности Ω, а радиус равен R.
По теореме Фалеса в треугольнике ABC получим
ABAC=BECD=AC−BC.
Теперь зная длины отрезков AB, AC, BD, CD, PQ, и QD, можем составить выражение для величины AC⋅BDAB⋅CD:
AC⋅BDAB⋅CD = 2R − 13x33xxAB⋅CD.
Осталось найти значение выражения AB⋅CD.
Из равнобедренности треугольников BMD и AMC следует, что AM = MB = R, а CD = AD - AC = 2R - 2AC. Теперь заметим, что треугольники BMD и PQD подобны, так как углы BMC и PMQ равны и углы BMD и PQD также равны (так как BM || PQ и ∠BMD = ∠PQD). Получаем следующие пропорции:
BMPQ=BMQP=MDQD, DQ=QP, MQ=BP=PQ-PM=33x−13x=23x.
Таким образом, получаем
DQMD=DPBMC=QPMD=23xR.
Зная, что MD = R и DP = 2x, найдем DQ:
DQMD=DPBMC⟹DQ⋅R=2x⋅R⟹DQ=2x.
Подставим полученное значение DQ в выражение для CD:
CD=2R−2AC=2R−2⋅AC=2R−2⋅23x=2⋅3⋅23x=−3x.
Теперь заметим, что треугольники ABC и QDC подобны, так как углы QDC и BAC равны (так как они смежные углы при хордах AC и BD и дуге AM), и углы QCD и ABC также равны (так как CD || BA и ∠QCD = ∠ABC). Получаем следующие пропорции:
QCCD=QDBC=ACAB, CD=AC−−√BC⟹CD=AC−−√2R−13x.
Теперь можем выразить значение выражения AB⋅CD:
AB⋅CD=−3x⋅−−√2R−13x=3x⋅√2R−13x.
Осталось подставить это выражение в исходное:
AC⋅BDAB⋅CD=2R−13x33x⋅3x⋅√2R−13x.
Теперь просто рассчитаем значение получившегося выражения.
