Обозначим точку пересечения отрезков BM и CM как точку O. Также введем обозначения: |AC| = a, |BD| = b, |AB| = c, |CD| = d. Заметим, что так как точка M - середина дуги AD, то она делит эту дугу на две равные части, а значит, угол BAD равен углу DAC, и угол DBC равен углу BAC. Теперь рассмотрим треугольники BMO и CMO. Так как OM - сторона, общая для них, а угол BOM равен углу COM (так как точка M лежит на окружности), то эти треугольники подобны по третьей стороне. Заметим, что угол OMB равен углу OCM (так как эти углы опираются на хорды AD и DM, корые опираются на одну и ту же дугу). А также углы MBO и MCO равны между собой (см. аргумент с вписаным углом к дуге AD через точку M ниже). Значит, треугольники BMO и CMO равны между собой (по признаку равенства двух треугольников по двум углам и стороне между ними). Обозначим угол BMO (и CMO) как a, а углы MBO и MCO обозначим как b. Также обозначим углы BAD и BDA как alpha, а угол BAC как beta. Заметим, что beta = 2*alpha (так как AM делит дугу BC пополам, и это значит, что угол BAD - двойной угол BAC). Так как треугольники BMO и CMO равны, то у них соответствующие стороны пропорциональны. То есть, можно записать следующее соотношение: |BM|/|CM| = |BO|/|CO|. Используя теорему синусов в треугольниках BMO и CMO, получим: |BM|/sin(a) = |MO|/sin(b), и |CM|/sin(a) = |MO|/sin(b). Используя соотношение выше, можно записать следующее равенство: |BM|/sin(a) = |CM|/sin(a). Значит, |BM| = |CM|. Теперь рассмотрим треугольники APM и DQM. Так как точка M лежит на окружности, то альфа равен углам AMP и DMQ (так как углы эти прописаны о радиусе, опирающемся на одну и ту же точку окружности M). Также заметим, что тогда 2а равен углам OMB и OCM (так как углы эти опираются на дуги AD и DM, соответсвенно, и оба радиуса опираются на одну и ту же дугу). Следовательно, углы AMP и DMQ равны между собой (по аргументу с равенством двух углов с равными производящими). Значит, треугольники APM и DQM равны по двум углам и общей стороне (то есть, они подобны). Из условия задачи известно, что AP:PQ:QD=1:7:2. Значит, |AP|/|QD| = 1/2, и |AP| = (1/3)*|QD|. Так как треугольники APM и DQM подобны, то и соответствующие стороны также пропорциональны. То есть, |AP|/|QM| = |QD|/|PM|. Используя соотношение выше и замечание о том, что |AP| = (1/3)*|QD|, получим следующее: (1/3)*|QD| = |QD|/|PM|. Теперь рассмотрим треугольники ACD и BCD. Так как угол DBC равен углу BAC и угол BDC равен углу DAB, то эти треугольники равны (по признаку равенства двух треугольников по двум углам и стороне между ними). Теперь смотрим на прямоугольный треугольник BDM. Так как BM - средняя линия в треугольнике ABD, то |BM| = (1/2)*|AD|. Также заметим, что углы MBD и MDM вместе составляют неповернутый угол (так как они прописаны на его радиусах). Следовательно, |MD| = |BD|. Используя соотношения выше и знание того, что |BM| = (1/2)*|AD|, получим: (1/2)*|AD| = |BD|/|MD|. Теперь замечаем, что AD = AP + PQ + QD = (1/3)*|QD| + (7/10)*|QD| + |QD| = (553/30)*|QD|. Соединяем все это и получаем уравнение: (1/2)*(553/30)*|QD| = |BD|/|MD|. Заметим, что треугольники BOD и COD подобны (по признаку равенства двух треугольников по двум углам и стороне между ними). То есть, можно записать соотношение: |BD|/|coD| = |OD|/(|OD|+|MD|). Соединяем все полученные уравнения и получим следующее выражение: (1/2)*(553/30)*|QD| = |BD|/|MD| = |OD|/(|OD|+|MD|) = a/(a+b) Теперь выразим |QD| из первого равенства: |QD| = (30/553)*a. Подставим это выражение во второе равенство: (1/2)*(553/30)*((30/553)*a) = |BD|/|MD|. Упростим выражение и получим: a/2 = |BD|/|MD|. Теперь выразим a из последнего уравнения: a = (2*|BD|*|MD|). Подставим это значение в первое уравнение: (1/2)*(553/30)*((30/553)*(2*|BD|*|MD|)) = |OD|/(|OD|+|MD|). Упростим и получим следующее выражение: (2*|BD|*|MD|)/(2*|BD|*|MD|+|OM|) = (2*|BD|*|MD|)/(a+|OM|). Заметим, что (2*|BD|*|MD|)/(a+|OM|) это сумма частей и не содержит a. Теперь рассмотрим выражение AC*BD/(AB*CD). AC*BD/(AB*CD) = (BD/BC)*(AC/(AB*CD)) = BD/DQ*(AP/(AB*CD)) = (2*|BD|*|MD|)/(a+|OM|), где DQ = (2*|QD|), и для этого рассуждения я использовал соотношение |QD| = (30/553)*a из выше полученных уравнений. Таким образом, значение выражения AC*BD/(AB*CD) равно (2*|BD|*|MD|)/(a+|OM|).