Пусть на доске записаны четыре числа: a, b, c и d. Отличник Паша перемножил какие-то три числа и получил 41, поэтому уравнение, описывающее это условие, будет: abc = 41 ..........(1) Отличник Ваня перемножил какие-то три числа и получил 82, поэтому уравнение, описывающее это условие, будет: bcd = 82 ..........(2) Так как числа на доске все различные, то разделим уравнение (2) на уравнение (1): bcd / abc = 82 / 41 bcd / abc = 2 Так как у нас все числа целые, то это значит, что bc должно быть равно удвоенному значению a: bc = 2a ..........(3) Теперь, заметим, что перемножение всех четырех чисел даст нам искомую сумму: abcd Подставим выражение для bc из уравнения (3): abcd = ab * 2a * d = 2a^2 * bd Так как a, b, c и d - целые числа, то и 2a^2 * bd - это целое число. Значит, искомая сумма тоже будет целым числом. Мы хотим найти наименьшее значение суммы, поэтому можно сразу сказать, что a, b, c и d являются положительными числами, иначе мы можем взять число с большим модулем и поменять его знак на противоположный, что увеличит сумму. Так как все целые числа положительны, то минимальное значение числа a будет 1. Таким образом, 2a = 2 и, согласно уравнению (3), bc = 2. Теперь мы можем вернуться к уравнениям (1) и (2): abc = 41 ..........(1) bcd = 82 ..........(2) Мы знаем, что a = 1 и bc = 2, поэтому подставим эти значения в уравнения (1) и (2), чтобы получить значения b и c: b * 1 * 2 = 41 // b * 2 = 41 => b = 41 / 2 = 20.5 c * 20.5 = 41 d * c * 20.5 = 82 // d * c = 4 => c = 4 / d Поскольку все числа должны быть целыми, b будет нецелым числом, что противоречит условию, что все четыре числа на доске целые. Значит, это решение неверно. Мы начали с предположения, что a = 1, но так как это привело к противоречию, то нужно рассмотреть другие возможности для значения a. Заметим, что если поменять местами числа a и c, то условие будет также выполнено. То есть, если a * b * d = 41, то b * a * d = 41 также будет верно. Аналогично, если поменять местами числа c и d, то будет выполняться следующее: b * d * c = 82, то есть поставить символ "=" между b * c * d и 82 будет также верно. Таким образом, с помощью этих изменений, решители задачи могут переупорядочить числа, чтобы найти правильное решение. Заметим также, что (abc) * (bcd) = abcd * b^2 , то есть перемножение каких-то двух уравнений, изначально данных в задаче. То есть, из уравнений (1) и (2), мы можем получить следующее уравнение: (abc) * (bcd) = abcd * b^2 = 41 * 82 = 3362 Теперь посмотрим на свойства числа 3362: 3362 = 2 * 13 * 17 * 4 Используя число в виде произведения простых чисел, мы можем рассмотреть все возможные варианты деления числа на 4 различных множителя. Вариант 1: b = 2, c = 13, d = 17 Тогда abc = 26 и bcd = 442, что соответствует условию задачи, значит, вариант допустим. Вариант 2: b = 2, c = 17, d = 13 Тогда abc = 34 и bcd = 442, что соответствует условию задачи, значит, вариант допустим. Вариант 3: b = 4, c = 13, d = 17 Тогда abc = 104 и bcd = 884, что не соответствует условию задачи, значит, вариант недопустим. Вариант 4: b = 4, c = 17, d = 13 Тогда abc = 68 и bcd = 884, что не соответствует условию задачи, значит, вариант недопустим. Таким образом, мы рассмотрели все возможные варианты и выяснили, что только варианты 1 и 2 соответствуют условию задачи. Теперь, найдем сумму четырех чисел a, b, c и d: a + b + c + d = 1 + 2 + 13 + 17 = 33 Наименьшее значение суммы четырех чисел будет 33.