Данная задача связана с нахождением минимального значения суммы четырех чисел, при котором отличнику Паше и отличнику Ване удастся перемножить какие-то три из них и получить заданные результаты. Пусть a, b, c и d - это четыре различных целых числа, записанных на доске. Отличник Паша перемножил какие-то три числа и получил 43, а отличник Ваня перемножил какие-то три числа и получил 86. Математически формулируется следующая система уравнений: a * b * c = 43 (уравнение отличника Паши) a * b * d = 86 (уравнение отличника Вани) Решим эту систему уравнений для нахождения значений чисел a, b, c и d. Разделитель префикса a, b, c и d мы опустим для краткости. Перемножим уравнения и получим: (a * b * c) * (a * b * d) = 43 * 86 a^2 * b^2 * c * d = 43 * 86 Так как a, b, c и d - целые числа, то их произведение также будет целым числом. Поэтому искомое произведение, равное 43 * 86, должно быть квадратом некоторого целого числа. Разложим 43 * 86 на простые множители: 43 * 86 = 2 * 43 * 2 * 43 = 2^2 * 43^2 Итак, 43 * 86 - это квадрат числа 2 * 43 = 86, а значит искомое произведение 43 * 86 является квадратом числа 86. Разложим число 86 на простые множители: 86 = 2 * 43 = 2 * 43^1 Получили, что 86 - это квадрат числа 43, а значит число 43 тоже является квадратом некоторого числа. Итак, мы получили, что произведение чисел a, b, c и d является квадратом двух различных чисел: 43 и 86. Заметим,что суммы двух квадратов могут быть равны только в двух случаях: 1) Первое число равно квадратному корню суммы двух квадратов, а второе число равно разности квадратного корня суммы двух квадратов и разности квадратного корня двух заданных квадратов. 2) Второе число равно квадратному корню суммы двух квадратов, а первое число равно разности квадратного корня суммы двух квадратов и разности квадратного корня двух заданных квадратов. Рассмотрим оба этих случая относительно наших чисел 43 и 86: Первый случай: Переберем все возможные разности и найдем соответствующие значения квадратных корней: 43 = sqrt(a) - sqrt(b) 86 = sqrt(a) + sqrt(b) Тогда a = (sqrt(86) + sqrt(43))^2 и b = (sqrt(86) - sqrt(43))^2 Второй случай: 43 = sqrt(a) + sqrt(b) 86 = sqrt(a) - sqrt(b) Тогда a = (sqrt(86) - sqrt(43))^2 и b = (sqrt(86) + sqrt(43))^2 Итак, мы получили два набора чисел a, b, c и d, удовлетворяющих условию задачи. Подставим значения a, b, c и d в исходные уравнения. Первый набор: a * b * c = (sqrt(86) + sqrt(43))^2 * (sqrt(86) - sqrt(43))^2 * sqrt(43) = (86 - 43) * 43 = 43^2 = 43 * 43 = 43 a * b * d = (sqrt(86) + sqrt(43))^2 * (sqrt(86) - sqrt(43))^2 * sqrt(86) = (86 - 43) * 86 = 43 * 86 = 86^2 = 86 * 86 = 86 * 86 = 86 Второй набор: a * b * c = (sqrt(86) - sqrt(43))^2 * (sqrt(86) + sqrt(43))^2 * sqrt(43) = (86 + 43) * 43 = 43^2 = 43 * 43 = 43 a * b * d = (sqrt(86) - sqrt(43))^2 * (sqrt(86) + sqrt(43))^2 * sqrt(86) = (86 + 43) * 86 = 43 * 86 = 86^2 = 86 * 86 = 86 * 86 = 86 Мы получили, что в обоих наборах a * b * c = a * b * d = 43, а значит наименьшее значение суммы четырех чисел на доске равно 43 + 43 = 86. Ответ: сумма четырех чисел на доске не может быть меньше 86.