Пусть a, b, c и d - числа на доске. Из условия задачи известно, что a * b * c = 43 и a * b * d = 86. Рассмотрим каждую из этих уравнений в отдельности. Первое уравнение: a * b * c = 43. Заметим, что 43 - простое число. Поэтому a, b и c должны быть равными 1, -1, -1 и 43 в каком-то порядке. Так как числа на доске различные, то a, b и c не могут быть равными. Второе уравнение: a * b * d = 86. Здесь уже 86 - составное число. Рассмотрим все возможные случаи разложения 86 на три целых числа: 1) 86 = 1 * 1 * 86 - при таком разложении числа a, b и d будут равными 1. 2) 86 = 1 * 2 * 43 - теперь числа a и d равны единице, а b равно двойке. 3) 86 = 1 * (-1) * (-86) - здесь a и b равны единице, а d равно -86. 4) 86 = 2 * (-1) * (-43) - в этом случае a равно двойке, b и d равны -1. Из всех этих разложений выберем такое, которое удовлетворяет первому уравнению a * b * c = 43. Из него следует, что c равно 43, -1, -1 или -43, в зависимости от разложения. Таким образом, возможные значения для a, b, c и d: 1) a = 1, b = 1, c = 43, d = 86 - сумма равна 1 + 1 + 43 + 86 = 131. 2) a = 1, b = 2, c = 43, d = -86 - сумма равна 1 + 2 + 43 + (-86) = -40. 3) a = 1, b = -1, c = -1, d = -86 - сумма равна 1 + (-1) + (-1) + (-86) = -87. 4) a = 2, b = -1, c = -43, d = -86 - сумма равна 2 + (-1) + (-43) + (-86) = -128. Таким образом, наименьшее значение суммы четырех чисел на доске равно -128.