Пусть числа на доске обозначаются a, b, c и d. Задача состоит в том, чтобы найти наименьшее значение суммы a + b + c + d. Для этого рассмотрим все возможные комбинации трех чисел и найдем их произведения: 1. a · b · c = 47 2. a · b · d = 94 3. a · c · d = x 4. b · c · d = y Зная, что числа на доске различны, мы можем рассмотреть два случая: 1. Если все числа положительные или все отрицательные: В этом случае произведение трех чисел будет положительным, и, так как a · b · c = 47, a · b · d = 94 и a · c · d = x, у нас будет следующая система уравнений: a · b · c = 47 a · b · d = 94 a · c · d = x Рассмотрим сумму всех уравнений и поделим ее на 2: (a · b · c) + (a · b · d) + (a · c · d) = 47 + 94 + x Так как (a · b · c) + (a · b · d) + (a · c · d) = a · (b · c + b · d + c · d), получим: a · (b · c + b · d + c · d) = 47 + 94 + x Поскольку все числа a, b, c и d положительные или все отрицательные, a ≠ 0 и можем разделить уравнение на a: b · c + b · d + c · d = (47 + 94 + x) / a Пользуясь формулой суммы двух чисел, получим: (b + c) · (b + d) + c · d = (47 + 94 + x) / a Заметим, что (b + c) ∈ N и (b + d) ∈ N, так как все числа на доске целые. Также, чтобы минимизировать сумму, необходимо минимизировать выражение (47 + 94 + x) / a. Рассмотрим несколько случаев: - Если a = 1, то сумма a + b + c + d становится равна 141 + x. - Если a = 2, то сумма a + b + c + d становится равна 47 + 47 + x/2. - Если a = 3, то сумма a + b + c + d становится равна 47 + 94/3 + x/3. - Если a > 3, то за счет увеличения значения a счетчик будет возрастать, так как (47 + 94 + x) / a уменьшается. Исследовав все эти случаи, можно заметить, что величина суммы a + b + c + d будет уменьшаться при увеличении значения a от 2 до 3. Поэтому выбираем a = 3. Тогда сумма a + b + c + d становится равной 47 + 94/3 + x/3. Она будет минимальной, если x/3 тоже минимально. Чтобы x/3 было минимальным, x должно быть минимальным. Поскольку все числа на доске различны, то из условия a · c · d = x исключается тот случай, когда a, c и d равны -1, 1 и -47 соответственно (поскольку 1 · (-1) · (-47) = 47). Будем рассматривать только положительные значения чисел. Теперь найдем минимальное значение x. Рассмотрим отдельно следующие случаи: - Если a = -1, то x = 47 · c · d. Чтобы x было минимальным, c и d должны быть минимальными. Минимальное значение c и d будет равно 2, и тогда x = 564. - Если a = 1, то x = -47 · c · d. Чтобы x было минимальным, c и d должны быть максимальными. Максимальное значение c и d будет равно 47 и 94/3 соответственно, и тогда x = -47 · 47 · 94/3 = -36,422. ~ -36,42 - Если a = 2, то x = 47/2 · c · d. Чтобы x было минимальным, c и d должны быть минимальными. Минимальное значение c и d будет равно 2, и тогда x = 47/2 · 2 · 2 = 47. - Если a = 3, то x = 47/3 · c · d. Чтобы x было минимальным, c и d должны быть максимальными. Максимальное значение c и d будет равно 47 и 94/3 соответственно, и тогда x = 47/3 · 47 · 94/3 = 23,528. ~ 23,53 Таким образом, минимальное значение x равно -36,42. Теперь рассмотрим случай, когда a = 3, b = -1, c = 2, d = 47 (сумма x, которое равно -36,42). В этом случае a + b + c + d = 3 + (-1) + 2 + 47 = 51. Это наименьшее значение суммы четырех чисел на доске, удовлетворяющих условию задачи. 2. Если числа a и b различны по знаку: Пусть a и b положительные числа, а c и d - отрицательные. В этом случае произведение трех чисел будет отрицательным, и мы можем рассмотреть следующую систему уравнений: a · b · c = 94 a · b · d = 47 a · c · d = x Разделим два первых уравнения и найдем отношение (a · c · d) / (a · b · c), тогда: (a · c · d) / (a · b · c) = x / 94 = 1/2 Поэтому x = 94 / 2 = 47. Теперь рассмотрим случай, когда a = 2, b = 1, c = -2, d = -47 (сумма x, которое равно 47). В этом случае a + b + c + d = 2 + 1 − 2 − 47 = −46. Но так как значения на доске должны быть целыми числами, это не подходит. Таким образом, наименьшая сумма a + b + c + d, удовлетворяющая условию задачи, равна 51.