Пусть на доске записаны числа a, b, c и d. Тогда, согласно условию задачи, выполняются следующие равенства: abc = 37 bcd = 74 Необходимо найти такое минимальное значение суммы a + b + c + d. Для этого рассмотрим все возможные комбинации из трёх чисел и подставим их в равенства. Сначала рассмотрим комбинации, в которых все числа отличны от нуля. Прежде всего, заметим, что если abc = 37, то это означает, что ни одно из трёх чисел a, b и c не является нулём. Иначе abc = 0. Рассмотрим комбинацию abc и её порядок. 1) abc = 37. Это комбинация в исходных равенствах. 2) acb = 37. В этом случае из равенства abc = 37 следует, что a = b = c, т.к. оба равенства должны выполняться одновременно. Получаем a^3 = 37, что является невозможным, так как число 37 не имеет кубического корня. 3) bac = 37. Эта комбинация можно получить, если a и c поменять местами. Тогда в первом равенстве получим bac = 37, что является верным. 4) bca = 37. Аналогично, это комбинация можно получить, поменяв местами a и c. 5) cab = 37. И здесь комбинацию можно получить, поменяв местами a и b. 6) cba = 37. Аналогично, можно получить, поменяв местами a и b. Таким образом, у нас семь комбинаций abc, в которых все числа отличны от нуля. Рассмотрим то, что получится при перемножении двух других чисел. bcd = 74 1) bcd = 74. Это комбинация, которая уже есть в равенстве bcd = 74. 2) bdc = 74. Аналогично комбинация acb = 37, эта комбинация возможна только, если b = c = d. Получаем b^3 = 74, что также является невозможным. 3) cbd = 74. Меняем местами b и d. 4) cdb = 74. Меняем местами b и d. 5) dbc = 74. Меняем местами b и c. 6) dcb = 74. Меняем местами b и c. Таким образом, у нас есть шесть комбинаций bcd, в которых все числа отличны от нуля. Теперь рассмотрим комбинации, в которых одно из чисел равно нулю. Из равенства abc = 37 следует, что abc ≠ 0. То же самое верно и для равенства bcd = 74. 1) a = 0. Если a = 0, то abc = 0, и это не возможно согласно равенству abc = 37. Значит, a ≠ 0. 2) b = 0. Аналогично, b ≠ 0. 3) c = 0. В этом случае получим a = ±√(37/b) для всех a ≠ 0. Но эта комбинация уже была рассмотрена при рассмотрении комбинации acb = 37. Значит, такого набора чисел нет. 4) d = 0. Аналогично, d ≠ 0. Таким образом, отбросив комбинации, в которых одно из чисел равно нулю, у нас остаются комбинации abc и bcd, в которых все числа отличны от нуля. Теперь найдём значения суммы чисел на доске для всех комбинаций abc и bcd. 1) abc = 37 и bcd = 74. В этом случае значение суммы равно a + b + c + d = 37 + 37 + 37 + 74 = 185. 2) acb = 37 и bdc = 74. Заметим, что множества abc = 37 и acb = 37 не пересекаются, т.к. в первом множестве c ≠ 0, а во втором c = 0. Получаем a + b + c + d = 37 + 74 + 0 + 74 = 185. 3) bac = 37 и cbd = 74. В этом случае значение суммы равно a + b + c + d = b + a + c + d = 37 + 37 + 37 + 74 = 185. 4) bca = 37 и cdb = 74. Заметим, что множества abc = 37 и bca = 37 не пересекаются, т.к. в первом множестве a ≠ 0, а во втором a = 0. Получаем a + b + c + d = 0 + 37 + 74 + 74 = 185. 5) cab = 37 и dbc = 74. В этом случае значение суммы равно a + b + c + d = 37 + 37 + 37 + 74 = 185. 6) cba = 37 и dcb = 74. Заметим, что множества bcd = 74 и cba = 37 не пересекаются, т.к. в первом множестве d ≠ 0, а во втором d = 0. Получаем a + b + c + d = 37 + 74 + 37 + 37 = 185. Таким образом, все значения суммы a + b + c + d для комбинаций abc и bcd, в которых все числа отличны от нуля, равны 185. Осталось рассмотреть комбинации, в которых два числа равны нулю. 1) a = 0 и b = 0. В этом случае из равенства abc = 37 следует, что c = 37/b = 37/0, что является невозможным. 2) a = 0 и c = 0. Аналогично, из равенства abc = 37 следует, что b = 37/a = 37/0, что является невозможным. 3) a = 0 и d = 0. Аналогично, из равенства abc = 37 следует, что b = 37/(0 * 0) = 37/0, что является невозможным. 4) b = 0 и c = 0. Аналогично, из равенства abc = 37 следует, что a = 37/b = 37/0, что является невозможным. 5) b = 0 и d = 0. Аналогично, из равенства bcd = 74 следует, что c = 74/(0 * 0) = 74/0, что является невозможным. 6) c = 0 и d = 0. Аналогично, из равенства bcd = 74 следует, что b = 74/(0 * 0) = 74/0, что является невозможным. Таким образом, нет таких комбинаций abc и bcd, в которых два числа равны нулю. Приходим к выводу, что минимальное значение суммы a + b + c + d равно 185.