Пусть числа на доске обозначены как $a$, $b$, $c$ и $d$. Отличник Паша перемножил какие-то три числа и получил 3, 7 и 37: [abc = 3] [abd = 7] [acd = 37] Заметим, что число 37 не делится ни на 3, ни на 7, поэтому если нам известно, какие числа были перемножены, то всегда можно однозначно определить исходные числа $a$, $b$, $c$ и $d$. Аналогично, отличник Ваня перемножил какие-то три числа и получил 7, 4 и 74: [abc = 7] [abd = 4] [bcd = 74] Заметим, что число 74 делится и на 2, и на 37. Поскольку число 37 не может быть получено при умножении двух чисел, то оно явно не может быть одним из множителей числа 74. Это означает, что одно из чисел $a$, $b$, $c$ или $d$ должно делиться на 2. Выразим число $d$, разделив третье уравнение на второе: [frac{bcd}{abd}=frac{74}{4}=37 Rightarrow frac{d}{a}=37 Rightarrow d=37a] Подставим это во второе уравнение: [abd=4 Rightarrow ab(37a)=4 Rightarrow a^2b=4 Rightarrow ab=frac{4}{a}] Теперь найдем значения $a$ и $b$. Заметим, что множители в разложении числа 4 на простые должны быть равны 1 или 2. Однако, если $a>2$, то $frac{4}{a}<2$ и, следовательно, $ab<2$, что противоречит уравнению $ab=frac{4}{a}$. Из этого следует, что $a=1$ или $a=2$. Если $a=1$, то $bc=4$ и $bd=7$. Для нахождения $c$ и $d$ решим систему уравнений: [c+d=11] [c cdot d=4] [c=4 Rightarrow d=7] или [c=7 Rightarrow d=4] Если $a=2$, то $2b=2$ и $2d=7$. Отсюда следует, что $b=1$ и $d=frac{7}{2}$, что не является целым числом. Подводя итог, получаем, что наименьшая сумма четырех чисел на доске равна $1+4+7=12$.